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Theorem tfisi 4233
Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tfisi.a (φA 𝑉)
tfisi.b (φ𝑇 On)
tfisi.c ((φ (𝑅 On 𝑅𝑇) y(𝑆 𝑅χ)) → ψ)
tfisi.d (x = y → (ψχ))
tfisi.e (x = A → (ψθ))
tfisi.f (x = y𝑅 = 𝑆)
tfisi.g (x = A𝑅 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
tfisi (φθ)
Distinct variable groups:   x,y,𝑇   y,𝑅   x,𝑆   χ,x   φ,x,y   ψ,y   x,A   θ,x
Allowed substitution hints:   ψ(x)   χ(y)   θ(y)   A(y)   𝑅(x)   𝑆(y)   𝑉(x,y)

Proof of Theorem tfisi
Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 2937 . 2 𝑇𝑇
2 eqid 2018 . . . . 5 𝑇 = 𝑇
3 tfisi.a . . . . . 6 (φA 𝑉)
4 tfisi.b . . . . . . 7 (φ𝑇 On)
5 eqeq2 2027 . . . . . . . . . . 11 (z = w → (𝑅 = z𝑅 = w))
6 sseq1 2939 . . . . . . . . . . . . 13 (z = w → (z𝑇w𝑇))
76anbi2d 440 . . . . . . . . . . . 12 (z = w → ((φ z𝑇) ↔ (φ w𝑇)))
87imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11 (z = w → (((φ z𝑇) → ψ) ↔ ((φ w𝑇) → ψ)))
95, 8imbi12d 223 . . . . . . . . . 10 (z = w → ((𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)) ↔ (𝑅 = w → ((φ w𝑇) → ψ))))
109albidv 1683 . . . . . . . . 9 (z = w → (x(𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)) ↔ x(𝑅 = w → ((φ w𝑇) → ψ))))
11 tfisi.f . . . . . . . . . . . 12 (x = y𝑅 = 𝑆)
1211eqeq1d 2026 . . . . . . . . . . 11 (x = y → (𝑅 = w𝑆 = w))
13 tfisi.d . . . . . . . . . . . 12 (x = y → (ψχ))
1413imbi2d 219 . . . . . . . . . . 11 (x = y → (((φ w𝑇) → ψ) ↔ ((φ w𝑇) → χ)))
1512, 14imbi12d 223 . . . . . . . . . 10 (x = y → ((𝑅 = w → ((φ w𝑇) → ψ)) ↔ (𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))))
1615cbvalv 1772 . . . . . . . . 9 (x(𝑅 = w → ((φ w𝑇) → ψ)) ↔ y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ)))
1710, 16syl6bb 185 . . . . . . . 8 (z = w → (x(𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)) ↔ y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))))
18 eqeq2 2027 . . . . . . . . . 10 (z = 𝑇 → (𝑅 = z𝑅 = 𝑇))
19 sseq1 2939 . . . . . . . . . . . 12 (z = 𝑇 → (z𝑇𝑇𝑇))
2019anbi2d 440 . . . . . . . . . . 11 (z = 𝑇 → ((φ z𝑇) ↔ (φ 𝑇𝑇)))
2120imbi1d 220 . . . . . . . . . 10 (z = 𝑇 → (((φ z𝑇) → ψ) ↔ ((φ 𝑇𝑇) → ψ)))
2218, 21imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (z = 𝑇 → ((𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)) ↔ (𝑅 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → ψ))))
2322albidv 1683 . . . . . . . 8 (z = 𝑇 → (x(𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)) ↔ x(𝑅 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → ψ))))
24 simp3l 918 . . . . . . . . . . . 12 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → φ)
25 simp2 891 . . . . . . . . . . . . 13 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → 𝑅 = z)
26 simp1l 914 . . . . . . . . . . . . 13 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → z On)
2725, 26eqeltrd 2092 . . . . . . . . . . . 12 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → 𝑅 On)
28 simp3r 919 . . . . . . . . . . . . 13 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → z𝑇)
2925, 28eqsstrd 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → 𝑅𝑇)
30 simpl3l 945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → φ)
31 simpl1l 941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → z On)
32 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → v / x𝑅 𝑅)
33 simpl2 894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → 𝑅 = z)
3432, 33eleqtrd 2094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → v / x𝑅 z)
35 onelss 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (z On → (v / x𝑅 zv / x𝑅z))
3631, 34, 35sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → v / x𝑅z)
37 simpl3r 946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → z𝑇)
3836, 37sstrd 2928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → v / x𝑅𝑇)
39 simpl1r 942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ)))
40 eqeq2 2027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (w = v / x𝑅 → (𝑆 = w𝑆 = v / x𝑅))
41 sseq1 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (w = v / x𝑅 → (w𝑇v / x𝑅𝑇))
4241anbi2d 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (w = v / x𝑅 → ((φ w𝑇) ↔ (φ v / x𝑅𝑇)))
4342imbi1d 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (w = v / x𝑅 → (((φ w𝑇) → χ) ↔ ((φ v / x𝑅𝑇) → χ)))
4440, 43imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (w = v / x𝑅 → ((𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ)) ↔ (𝑆 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → χ))))
4544albidv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (w = v / x𝑅 → (y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ)) ↔ y(𝑆 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → χ))))
4645rspcva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((v / x𝑅 z w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) → y(𝑆 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → χ)))
4734, 39, 46syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → y(𝑆 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → χ)))
48 eqidd 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → v / x𝑅 = v / x𝑅)
49 nfcv 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 xy
50 nfcv 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 x𝑆
5149, 50, 11csbhypf 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (v = yv / x𝑅 = 𝑆)
5251eqcomd 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v = y𝑆 = v / x𝑅)
5352equcoms 1572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (y = v𝑆 = v / x𝑅)
5453eqeq1d 2026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y = v → (𝑆 = v / x𝑅v / x𝑅 = v / x𝑅))
55 nfv 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 xχ
5655, 13sbhypf 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (v = y → ([v / x]ψχ))
5756bicomd 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v = y → (χ ↔ [v / x]ψ))
5857equcoms 1572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (y = v → (χ ↔ [v / x]ψ))
5958imbi2d 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y = v → (((φ v / x𝑅𝑇) → χ) ↔ ((φ v / x𝑅𝑇) → [v / x]ψ)))
6054, 59imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = v → ((𝑆 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → χ)) ↔ (v / x𝑅 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → [v / x]ψ))))
6160spv 1718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y(𝑆 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → χ)) → (v / x𝑅 = v / x𝑅 → ((φ v / x𝑅𝑇) → [v / x]ψ)))
6247, 48, 61sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → ((φ v / x𝑅𝑇) → [v / x]ψ))
6330, 38, 62mp2and 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) v / x𝑅 𝑅) → [v / x]ψ)
6463ex 108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → (v / x𝑅 𝑅 → [v / x]ψ))
6564alrimiv 1732 . . . . . . . . . . . . 13 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → v(v / x𝑅 𝑅 → [v / x]ψ))
6651eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (v = y → (v / x𝑅 𝑅𝑆 𝑅))
6766, 56imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (v = y → ((v / x𝑅 𝑅 → [v / x]ψ) ↔ (𝑆 𝑅χ)))
6867cbvalv 1772 . . . . . . . . . . . . 13 (v(v / x𝑅 𝑅 → [v / x]ψ) ↔ y(𝑆 𝑅χ))
6965, 68sylib 127 . . . . . . . . . . . 12 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → y(𝑆 𝑅χ))
70 tfisi.c . . . . . . . . . . . 12 ((φ (𝑅 On 𝑅𝑇) y(𝑆 𝑅χ)) → ψ)
7124, 27, 29, 69, 70syl121anc 1124 . . . . . . . . . . 11 (((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) 𝑅 = z (φ z𝑇)) → ψ)
72713exp 1087 . . . . . . . . . 10 ((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) → (𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)))
7372alrimiv 1732 . . . . . . . . 9 ((z On w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ))) → x(𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ)))
7473ex 108 . . . . . . . 8 (z On → (w z y(𝑆 = w → ((φ w𝑇) → χ)) → x(𝑅 = z → ((φ z𝑇) → ψ))))
7517, 23, 74tfis3 4232 . . . . . . 7 (𝑇 On → x(𝑅 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → ψ)))
764, 75syl 14 . . . . . 6 (φx(𝑅 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → ψ)))
77 tfisi.g . . . . . . . . 9 (x = A𝑅 = 𝑇)
7877eqeq1d 2026 . . . . . . . 8 (x = A → (𝑅 = 𝑇𝑇 = 𝑇))
79 tfisi.e . . . . . . . . 9 (x = A → (ψθ))
8079imbi2d 219 . . . . . . . 8 (x = A → (((φ 𝑇𝑇) → ψ) ↔ ((φ 𝑇𝑇) → θ)))
8178, 80imbi12d 223 . . . . . . 7 (x = A → ((𝑅 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → ψ)) ↔ (𝑇 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → θ))))
8281spcgv 2613 . . . . . 6 (A 𝑉 → (x(𝑅 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → ψ)) → (𝑇 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → θ))))
833, 76, 82sylc 56 . . . . 5 (φ → (𝑇 = 𝑇 → ((φ 𝑇𝑇) → θ)))
842, 83mpi 15 . . . 4 (φ → ((φ 𝑇𝑇) → θ))
8584expd 245 . . 3 (φ → (φ → (𝑇𝑇θ)))
8685pm2.43i 43 . 2 (φ → (𝑇𝑇θ))
871, 86mpi 15 1 (φθ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871  wal 1224   = wceq 1226   wcel 1370  [wsb 1623  wral 2280  csb 2825  wss 2890  Oncon0 4045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-setind 4200
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-in 2897  df-ss 2904  df-uni 3551  df-tr 3825  df-iord 4048  df-on 4050
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