Theorem swoord2 6136

Description: The incomparability equivalence relation is compatible with the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
swoer.1	⊢ 𝑅 = ((𝑋 × 𝑋) ∖ ( < ∪ ◡ < ))
swoer.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 < 𝑧 → ¬ 𝑧 < 𝑦))
swoer.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
swoord.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
swoord.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
swoord.6	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)

Assertion

Ref	Expression
swoord2	⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ↔ 𝐶 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, <   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem swoord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		swoord.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		swoord.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
4		swoer.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((𝑋 × 𝑋) ∖ ( < ∪ ◡ < ))
5		difss 3070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ( < ∪ ◡ < )) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
6	4, 5	eqsstri 2975	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑋 × 𝑋)
7	6	ssbri 3806	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵)
8		df-br 3765	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
9		opelxp1 4377	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	8, 9	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑋)
11	3, 7, 10	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		swoord.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
13		swoer.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
14	13	swopolem 4042	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
15	1, 2, 11, 12, 14	syl13anc 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
16		idd 21	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 → 𝐶 < 𝐵))
17	4	brdifun 6133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
18	11, 12, 17	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
19	3, 18	mpbid 135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
20		olc 632	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
21	19, 20	nsyl 558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
22	21	pm2.21d 549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 → 𝐶 < 𝐵))
23	16, 22	jaod 637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → 𝐶 < 𝐵))
24	15, 23	syld 40	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 → 𝐶 < 𝐵))
25	13	swopolem 4042	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐶 < 𝐵 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
26	1, 2, 12, 11, 25	syl13anc 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
27		idd 21	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 → 𝐶 < 𝐴))
28		orc 633	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))
29	19, 28	nsyl 558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
30	29	pm2.21d 549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐶 < 𝐴))
31	27, 30	jaod 637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐴))
32	26, 31	syld 40	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 → 𝐶 < 𝐴))
33	24, 32	impbid 120	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ↔ 𝐶 < 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∖ cdif 2914   ∪ cun 2915  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ^◡ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353

This theorem is referenced by: (None)