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Theorem suctrALT 4107
Description: The successor of a transtive class is transitive. (Contributed by Alan Sare, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
suctrALT (Tr A → Tr suc A)

Proof of Theorem suctrALT
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . 5 ((z y y suc A) → y suc A)
2 vex 2538 . . . . . 6 y V
32elsuc 4092 . . . . 5 (y suc A ↔ (y A y = A))
41, 3sylib 127 . . . 4 ((z y y suc A) → (y A y = A))
5 simpl 102 . . . . . . 7 ((z y y suc A) → z y)
6 eleq2 2083 . . . . . . 7 (y = A → (z yz A))
75, 6syl5ibcom 144 . . . . . 6 ((z y y suc A) → (y = Az A))
8 elelsuc 4095 . . . . . 6 (z Az suc A)
97, 8syl6 29 . . . . 5 ((z y y suc A) → (y = Az suc A))
10 trel 3835 . . . . . . . . 9 (Tr A → ((z y y A) → z A))
1110expd 245 . . . . . . . 8 (Tr A → (z y → (y Az A)))
1211adantrd 264 . . . . . . 7 (Tr A → ((z y y suc A) → (y Az A)))
1312, 8syl8 65 . . . . . 6 (Tr A → ((z y y suc A) → (y Az suc A)))
14 jao 659 . . . . . 6 ((y Az suc A) → ((y = Az suc A) → ((y A y = A) → z suc A)))
1513, 14syl6 29 . . . . 5 (Tr A → ((z y y suc A) → ((y = Az suc A) → ((y A y = A) → z suc A))))
169, 15mpdi 38 . . . 4 (Tr A → ((z y y suc A) → ((y A y = A) → z suc A)))
174, 16mpdi 38 . . 3 (Tr A → ((z y y suc A) → z suc A))
1817alrimivv 1737 . 2 (Tr Azy((z y y suc A) → z suc A))
19 dftr2 3830 . 2 (Tr suc Azy((z y y suc A) → z suc A))
2018, 19sylibr 137 1 (Tr A → Tr suc A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 616  wal 1226   = wceq 1228   wcel 1374  Tr wtr 3828  suc csuc 4051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-sn 3356  df-uni 3555  df-tr 3829  df-suc 4057
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