ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucinc2 Structured version   GIF version

Theorem sucinc2 5965
Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
sucinc.1 𝐹 = (z V ↦ suc z)
Assertion
Ref Expression
sucinc2 ((B On A B) → (𝐹A) ⊆ (𝐹B))
Distinct variable groups:   z,A   z,B
Allowed substitution hint:   𝐹(z)

Proof of Theorem sucinc2
StepHypRef Expression
1 eloni 4078 . . . . 5 (B On → Ord B)
2 ordsucss 4196 . . . . 5 (Ord B → (A B → suc AB))
31, 2syl 14 . . . 4 (B On → (A B → suc AB))
43imp 115 . . 3 ((B On A B) → suc AB)
5 sssucid 4118 . . 3 B ⊆ suc B
64, 5syl6ss 2951 . 2 ((B On A B) → suc A ⊆ suc B)
7 onelon 4087 . . 3 ((B On A B) → A On)
8 elex 2560 . . . 4 (A On → A V)
9 sucexg 4190 . . . 4 (A On → suc A V)
10 suceq 4105 . . . . 5 (z = A → suc z = suc A)
11 sucinc.1 . . . . 5 𝐹 = (z V ↦ suc z)
1210, 11fvmptg 5191 . . . 4 ((A V suc A V) → (𝐹A) = suc A)
138, 9, 12syl2anc 391 . . 3 (A On → (𝐹A) = suc A)
147, 13syl 14 . 2 ((B On A B) → (𝐹A) = suc A)
15 elex 2560 . . . 4 (B On → B V)
16 sucexg 4190 . . . 4 (B On → suc B V)
17 suceq 4105 . . . . 5 (z = B → suc z = suc B)
1817, 11fvmptg 5191 . . . 4 ((B V suc B V) → (𝐹B) = suc B)
1915, 16, 18syl2anc 391 . . 3 (B On → (𝐹B) = suc B)
2019adantr 261 . 2 ((B On A B) → (𝐹B) = suc B)
216, 14, 203sstr4d 2982 1 ((B On A B) → (𝐹A) ⊆ (𝐹B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  cmpt 3809  Ord word 4065  Oncon0 4066  suc csuc 4068  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator