Theorem sucinc2 5965

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	⊢ 𝐹 = (z ∈ V ↦ suc z)

Assertion

Ref	Expression
sucinc2	⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → (𝐹‘A) ⊆ (𝐹‘B))

Distinct variable groups:   z,A   z,B

Allowed substitution hint:   𝐹(z)

Proof of Theorem sucinc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4078	. . . . 5 ⊢ (B ∈ On → Ord B)
2		ordsucss 4196	. . . . 5 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (B ∈ On → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
4	3	imp 115	. . 3 ⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → suc A ⊆ B)
5		sssucid 4118	. . 3 ⊢ B ⊆ suc B
6	4, 5	syl6ss 2951	. 2 ⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → suc A ⊆ suc B)
7		onelon 4087	. . 3 ⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → A ∈ On)
8		elex 2560	. . . 4 ⊢ (A ∈ On → A ∈ V)
9		sucexg 4190	. . . 4 ⊢ (A ∈ On → suc A ∈ V)
10		suceq 4105	. . . . 5 ⊢ (z = A → suc z = suc A)
11		sucinc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (z ∈ V ↦ suc z)
12	10, 11	fvmptg 5191	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ suc A ∈ V) → (𝐹‘A) = suc A)
13	8, 9, 12	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (A ∈ On → (𝐹‘A) = suc A)
14	7, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → (𝐹‘A) = suc A)
15		elex 2560	. . . 4 ⊢ (B ∈ On → B ∈ V)
16		sucexg 4190	. . . 4 ⊢ (B ∈ On → suc B ∈ V)
17		suceq 4105	. . . . 5 ⊢ (z = B → suc z = suc B)
18	17, 11	fvmptg 5191	. . . 4 ⊢ ((B ∈ V ∧ suc B ∈ V) → (𝐹‘B) = suc B)
19	15, 16, 18	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (B ∈ On → (𝐹‘B) = suc B)
20	19	adantr 261	. 2 ⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → (𝐹‘B) = suc B)
21	6, 14, 20	3sstr4d 2982	1 ⊢ ((B ∈ On ∧ A ∈ B) → (𝐹‘A) ⊆ (𝐹‘B))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911   ↦ cmpt 3809  Ord word 4065  Oncon0 4066  suc csuc 4068  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)