Theorem sucinc 6025

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
sucinc	⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4152	. . 3 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
2		vex 2560	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	sucex 4225	. . . 4 ⊢ suc 𝑥 ∈ V
4		suceq 4139	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → suc 𝑧 = suc 𝑥)
5		sucinc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
6	4, 5	fvmptg 5248	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ suc 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥)
7	2, 3, 6	mp2an 402	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥
8	1, 7	sseqtr4i 2978	. 2 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)
9	8	ax-gen 1338	1 ⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Syntax hints:  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917   ↦ cmpt 3818  suc csuc 4102  ‘cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)