ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsub4 Structured version   GIF version

Theorem subsub4 7000
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub4 ((A B 𝐶 ℂ) → ((AB) − 𝐶) = (A − (B + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4
StepHypRef Expression
1 nppcan2 6998 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A − (B + 𝐶)) + 𝐶) = (AB))
2 simp1 903 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → A ℂ)
3 simp2 904 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → B ℂ)
4 subcl 6967 . . . 4 ((A B ℂ) → (AB) ℂ)
52, 3, 4syl2anc 391 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (AB) ℂ)
6 simp3 905 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → 𝐶 ℂ)
73, 6addcld 6804 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → (B + 𝐶) ℂ)
8 subcl 6967 . . . 4 ((A (B + 𝐶) ℂ) → (A − (B + 𝐶)) ℂ)
92, 7, 8syl2anc 391 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → (A − (B + 𝐶)) ℂ)
10 subadd2 6972 . . 3 (((AB) 𝐶 (A − (B + 𝐶)) ℂ) → (((AB) − 𝐶) = (A − (B + 𝐶)) ↔ ((A − (B + 𝐶)) + 𝐶) = (AB)))
115, 6, 9, 10syl3anc 1134 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (((AB) − 𝐶) = (A − (B + 𝐶)) ↔ ((A − (B + 𝐶)) + 𝐶) = (AB)))
121, 11mpbird 156 1 ((A B 𝐶 ℂ) → ((AB) − 𝐶) = (A − (B + 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669   + caddc 6674  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941
This theorem is referenced by:  sub32  7001  nnncan  7002  pnpcan  7006  addsub4  7010  subsub4d  7109
  Copyright terms: Public domain W3C validator