Theorem subeqrev 7170

Description: Reverse the order of subtraction in an equality. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subeqrev	⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((A − B) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (B − A) = (𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem subeqrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 7007	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A − B) ∈ ℂ)
2		subcl 7007	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
3		neg11 7058	. . 3 ⊢ (((A − B) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (-(A − B) = -(𝐶 − 𝐷) ↔ (A − B) = (𝐶 − 𝐷)))
4	1, 2, 3	syl2an 273	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (-(A − B) = -(𝐶 − 𝐷) ↔ (A − B) = (𝐶 − 𝐷)))
5		negsubdi2 7066	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → -(A − B) = (B − A))
6		negsubdi2 7066	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
7	5, 6	eqeqan12d 2052	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (-(A − B) = -(𝐶 − 𝐷) ↔ (B − A) = (𝐷 − 𝐶)))
8	4, 7	bitr3d 179	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((A − B) = (𝐶 − 𝐷) ↔ (B − A) = (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6709   − cmin 6979  -cneg 6980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982

This theorem is referenced by: (None)