Theorem sssnm 3525

Description: The inhabited subset of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sssnm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 = {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sssnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝐵}))
2		elsni 3393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
3	1, 2	syl6 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 𝐵))
4		eleq1 2100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	syl6 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)))
6	5	ibd 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
7	6	exlimdv 1700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
8		snssi 3508	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
9	7, 8	syl6 29	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴))
10	9	anc2li 312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴)))
11		eqss 2960	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝐵} ↔ (𝐴 ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴))
12	10, 11	syl6ibr 151	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {𝐵}))
13	12	com12 27	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} → 𝐴 = {𝐵}))
14		eqimss 2997	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → 𝐴 ⊆ {𝐵})
15	13, 14	impbid1 130	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 = {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917  {csn 3375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381

This theorem is referenced by:  eqsnm  3526