ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg Structured version   GIF version

Theorem ssdomg 6194
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (B 𝑉 → (ABAB))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 3887 . . 3 ((AB B 𝑉) → A V)
2 simpr 103 . . 3 ((AB B 𝑉) → B 𝑉)
3 f1oi 5107 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ A):A1-1-ontoA
4 dff1o3 5075 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ A):A1-1-ontoA ↔ (( I ↾ A):AontoA Fun ( I ↾ A)))
53, 4mpbi 133 . . . . . . . . 9 (( I ↾ A):AontoA Fun ( I ↾ A))
65simpli 104 . . . . . . . 8 ( I ↾ A):AontoA
7 fof 5049 . . . . . . . 8 (( I ↾ A):AontoA → ( I ↾ A):AA)
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7 ( I ↾ A):AA
9 fss 4997 . . . . . . 7 ((( I ↾ A):AA AB) → ( I ↾ A):AB)
108, 9mpan 400 . . . . . 6 (AB → ( I ↾ A):AB)
11 funi 4875 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 4671 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 4865 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 134 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 4914 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ A))
1614, 15ax-mp 7 . . . . . 6 Fun ( I ↾ A)
1710, 16jctir 296 . . . . 5 (AB → (( I ↾ A):AB Fun ( I ↾ A)))
18 df-f1 4850 . . . . 5 (( I ↾ A):A1-1B ↔ (( I ↾ A):AB Fun ( I ↾ A)))
1917, 18sylibr 137 . . . 4 (AB → ( I ↾ A):A1-1B)
2019adantr 261 . . 3 ((AB B 𝑉) → ( I ↾ A):A1-1B)
21 f1dom2g 6172 . . 3 ((A V B 𝑉 ( I ↾ A):A1-1B) → AB)
221, 2, 20, 21syl3anc 1134 . 2 ((AB B 𝑉) → AB)
2322expcom 109 1 (B 𝑉 → (ABAB))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911   class class class wbr 3755   I cid 4016  ccnv 4287  cres 4290  Fun wfun 4839  wf 4841  1-1wf1 4842  ontowfo 4843  1-1-ontowf1o 4844  cdom 6156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-dom 6159
This theorem is referenced by:  xpdom3m  6244
  Copyright terms: Public domain W3C validator