Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg GIF version

Theorem ssdomg 6258
 Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 3896 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2 simpr 103 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
3 f1oi 5164 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
4 dff1o3 5132 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
53, 4mpbi 133 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴))
65simpli 104 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴
7 fof 5106 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
9 fss 5054 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
108, 9mpan 400 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
11 funi 4932 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 4728 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 4922 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 134 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 4971 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
1614, 15ax-mp 7 . . . . . 6 Fun ( I ↾ 𝐴)
1710, 16jctir 296 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
18 df-f1 4907 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
1917, 18sylibr 137 . . . 4 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
2019adantr 261 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
21 f1dom2g 6236 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
221, 2, 20, 21syl3anc 1135 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
2322expcom 109 1 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764   I cid 4025  ◡ccnv 4344   ↾ cres 4347  Fun wfun 4896  ⟶wf 4898  –1-1→wf1 4899  –onto→wfo 4900  –1-1-onto→wf1o 4901   ≼ cdom 6220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-dom 6223 This theorem is referenced by:  xpdom3m  6308  phplem4dom  6324  nndomo  6326  phpm  6327
 Copyright terms: Public domain W3C validator