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Theorem smores2 5850
 Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2 ((Smo 𝐹 Ord A) → Smo (𝐹A))

Proof of Theorem smores2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 5843 . . . . . . 7 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
21simp1bi 918 . . . . . 6 (Smo 𝐹𝐹:dom 𝐹⟶On)
3 ffun 4991 . . . . . 6 (𝐹:dom 𝐹⟶On → Fun 𝐹)
42, 3syl 14 . . . . 5 (Smo 𝐹 → Fun 𝐹)
5 funres 4884 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹A))
6 funfn 4874 . . . . . 6 (Fun (𝐹A) ↔ (𝐹A) Fn dom (𝐹A))
75, 6sylib 127 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹A) Fn dom (𝐹A))
84, 7syl 14 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹A) Fn dom (𝐹A))
9 df-ima 4301 . . . . . 6 (𝐹A) = ran (𝐹A)
10 imassrn 4622 . . . . . 6 (𝐹A) ⊆ ran 𝐹
119, 10eqsstr3i 2970 . . . . 5 ran (𝐹A) ⊆ ran 𝐹
12 frn 4995 . . . . . 6 (𝐹:dom 𝐹⟶On → ran 𝐹 ⊆ On)
132, 12syl 14 . . . . 5 (Smo 𝐹 → ran 𝐹 ⊆ On)
1411, 13syl5ss 2950 . . . 4 (Smo 𝐹 → ran (𝐹A) ⊆ On)
15 df-f 4849 . . . 4 ((𝐹A):dom (𝐹A)⟶On ↔ ((𝐹A) Fn dom (𝐹A) ran (𝐹A) ⊆ On))
168, 14, 15sylanbrc 394 . . 3 (Smo 𝐹 → (𝐹A):dom (𝐹A)⟶On)
1716adantr 261 . 2 ((Smo 𝐹 Ord A) → (𝐹A):dom (𝐹A)⟶On)
18 smodm 5847 . . 3 (Smo 𝐹 → Ord dom 𝐹)
19 ordin 4088 . . . . 5 ((Ord A Ord dom 𝐹) → Ord (A ∩ dom 𝐹))
20 dmres 4575 . . . . . 6 dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹)
21 ordeq 4075 . . . . . 6 (dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹) → (Ord dom (𝐹A) ↔ Ord (A ∩ dom 𝐹)))
2220, 21ax-mp 7 . . . . 5 (Ord dom (𝐹A) ↔ Ord (A ∩ dom 𝐹))
2319, 22sylibr 137 . . . 4 ((Ord A Ord dom 𝐹) → Ord dom (𝐹A))
2423ancoms 255 . . 3 ((Ord dom 𝐹 Ord A) → Ord dom (𝐹A))
2518, 24sylan 267 . 2 ((Smo 𝐹 Ord A) → Ord dom (𝐹A))
26 resss 4578 . . . . . 6 (𝐹A) ⊆ 𝐹
27 dmss 4477 . . . . . 6 ((𝐹A) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹A) ⊆ dom 𝐹)
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5 dom (𝐹A) ⊆ dom 𝐹
291simp3bi 920 . . . . 5 (Smo 𝐹x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x))
30 ssralv 2998 . . . . 5 (dom (𝐹A) ⊆ dom 𝐹 → (x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x) → x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x)))
3128, 29, 30mpsyl 59 . . . 4 (Smo 𝐹x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x))
3231adantr 261 . . 3 ((Smo 𝐹 Ord A) → x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x))
33 ordtr1 4091 . . . . . . . . . . 11 (Ord dom (𝐹A) → ((y x x dom (𝐹A)) → y dom (𝐹A)))
3425, 33syl 14 . . . . . . . . . 10 ((Smo 𝐹 Ord A) → ((y x x dom (𝐹A)) → y dom (𝐹A)))
35 inss1 3151 . . . . . . . . . . . 12 (A ∩ dom 𝐹) ⊆ A
3620, 35eqsstri 2969 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹A) ⊆ A
3736sseli 2935 . . . . . . . . . 10 (y dom (𝐹A) → y A)
3834, 37syl6 29 . . . . . . . . 9 ((Smo 𝐹 Ord A) → ((y x x dom (𝐹A)) → y A))
3938expcomd 1327 . . . . . . . 8 ((Smo 𝐹 Ord A) → (x dom (𝐹A) → (y xy A)))
4039imp31 243 . . . . . . 7 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → y A)
41 fvres 5141 . . . . . . 7 (y A → ((𝐹A)‘y) = (𝐹y))
4240, 41syl 14 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → ((𝐹A)‘y) = (𝐹y))
4336sseli 2935 . . . . . . . 8 (x dom (𝐹A) → x A)
44 fvres 5141 . . . . . . . 8 (x A → ((𝐹A)‘x) = (𝐹x))
4543, 44syl 14 . . . . . . 7 (x dom (𝐹A) → ((𝐹A)‘x) = (𝐹x))
4645ad2antlr 458 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → ((𝐹A)‘x) = (𝐹x))
4742, 46eleq12d 2105 . . . . 5 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → (((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x) ↔ (𝐹y) (𝐹x)))
4847ralbidva 2316 . . . 4 (((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) → (y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x) ↔ y x (𝐹y) (𝐹x)))
4948ralbidva 2316 . . 3 ((Smo 𝐹 Ord A) → (x dom (𝐹A)y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x) ↔ x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x)))
5032, 49mpbird 156 . 2 ((Smo 𝐹 Ord A) → x dom (𝐹A)y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x))
51 dfsmo2 5843 . 2 (Smo (𝐹A) ↔ ((𝐹A):dom (𝐹A)⟶On Ord dom (𝐹A) x dom (𝐹A)y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x)))
5217, 25, 50, 51syl3anbrc 1087 1 ((Smo 𝐹 Ord A) → Smo (𝐹A))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911  Ord word 4065  Oncon0 4066  dom cdm 4288  ran crn 4289   ↾ cres 4290   “ cima 4291  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  Smo wsmo 5841 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-iord 4069  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-smo 5842 This theorem is referenced by: (None)
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