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Theorem smores2 5850
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2 ((Smo 𝐹 Ord A) → Smo (𝐹A))

Proof of Theorem smores2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 5843 . . . . . . 7 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
21simp1bi 918 . . . . . 6 (Smo 𝐹𝐹:dom 𝐹⟶On)
3 ffun 4991 . . . . . 6 (𝐹:dom 𝐹⟶On → Fun 𝐹)
42, 3syl 14 . . . . 5 (Smo 𝐹 → Fun 𝐹)
5 funres 4884 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹A))
6 funfn 4874 . . . . . 6 (Fun (𝐹A) ↔ (𝐹A) Fn dom (𝐹A))
75, 6sylib 127 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹A) Fn dom (𝐹A))
84, 7syl 14 . . . 4 (Smo 𝐹 → (𝐹A) Fn dom (𝐹A))
9 df-ima 4301 . . . . . 6 (𝐹A) = ran (𝐹A)
10 imassrn 4622 . . . . . 6 (𝐹A) ⊆ ran 𝐹
119, 10eqsstr3i 2970 . . . . 5 ran (𝐹A) ⊆ ran 𝐹
12 frn 4995 . . . . . 6 (𝐹:dom 𝐹⟶On → ran 𝐹 ⊆ On)
132, 12syl 14 . . . . 5 (Smo 𝐹 → ran 𝐹 ⊆ On)
1411, 13syl5ss 2950 . . . 4 (Smo 𝐹 → ran (𝐹A) ⊆ On)
15 df-f 4849 . . . 4 ((𝐹A):dom (𝐹A)⟶On ↔ ((𝐹A) Fn dom (𝐹A) ran (𝐹A) ⊆ On))
168, 14, 15sylanbrc 394 . . 3 (Smo 𝐹 → (𝐹A):dom (𝐹A)⟶On)
1716adantr 261 . 2 ((Smo 𝐹 Ord A) → (𝐹A):dom (𝐹A)⟶On)
18 smodm 5847 . . 3 (Smo 𝐹 → Ord dom 𝐹)
19 ordin 4088 . . . . 5 ((Ord A Ord dom 𝐹) → Ord (A ∩ dom 𝐹))
20 dmres 4575 . . . . . 6 dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹)
21 ordeq 4075 . . . . . 6 (dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹) → (Ord dom (𝐹A) ↔ Ord (A ∩ dom 𝐹)))
2220, 21ax-mp 7 . . . . 5 (Ord dom (𝐹A) ↔ Ord (A ∩ dom 𝐹))
2319, 22sylibr 137 . . . 4 ((Ord A Ord dom 𝐹) → Ord dom (𝐹A))
2423ancoms 255 . . 3 ((Ord dom 𝐹 Ord A) → Ord dom (𝐹A))
2518, 24sylan 267 . 2 ((Smo 𝐹 Ord A) → Ord dom (𝐹A))
26 resss 4578 . . . . . 6 (𝐹A) ⊆ 𝐹
27 dmss 4477 . . . . . 6 ((𝐹A) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹A) ⊆ dom 𝐹)
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5 dom (𝐹A) ⊆ dom 𝐹
291simp3bi 920 . . . . 5 (Smo 𝐹x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x))
30 ssralv 2998 . . . . 5 (dom (𝐹A) ⊆ dom 𝐹 → (x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x) → x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x)))
3128, 29, 30mpsyl 59 . . . 4 (Smo 𝐹x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x))
3231adantr 261 . . 3 ((Smo 𝐹 Ord A) → x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x))
33 ordtr1 4091 . . . . . . . . . . 11 (Ord dom (𝐹A) → ((y x x dom (𝐹A)) → y dom (𝐹A)))
3425, 33syl 14 . . . . . . . . . 10 ((Smo 𝐹 Ord A) → ((y x x dom (𝐹A)) → y dom (𝐹A)))
35 inss1 3151 . . . . . . . . . . . 12 (A ∩ dom 𝐹) ⊆ A
3620, 35eqsstri 2969 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹A) ⊆ A
3736sseli 2935 . . . . . . . . . 10 (y dom (𝐹A) → y A)
3834, 37syl6 29 . . . . . . . . 9 ((Smo 𝐹 Ord A) → ((y x x dom (𝐹A)) → y A))
3938expcomd 1327 . . . . . . . 8 ((Smo 𝐹 Ord A) → (x dom (𝐹A) → (y xy A)))
4039imp31 243 . . . . . . 7 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → y A)
41 fvres 5141 . . . . . . 7 (y A → ((𝐹A)‘y) = (𝐹y))
4240, 41syl 14 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → ((𝐹A)‘y) = (𝐹y))
4336sseli 2935 . . . . . . . 8 (x dom (𝐹A) → x A)
44 fvres 5141 . . . . . . . 8 (x A → ((𝐹A)‘x) = (𝐹x))
4543, 44syl 14 . . . . . . 7 (x dom (𝐹A) → ((𝐹A)‘x) = (𝐹x))
4645ad2antlr 458 . . . . . 6 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → ((𝐹A)‘x) = (𝐹x))
4742, 46eleq12d 2105 . . . . 5 ((((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) y x) → (((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x) ↔ (𝐹y) (𝐹x)))
4847ralbidva 2316 . . . 4 (((Smo 𝐹 Ord A) x dom (𝐹A)) → (y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x) ↔ y x (𝐹y) (𝐹x)))
4948ralbidva 2316 . . 3 ((Smo 𝐹 Ord A) → (x dom (𝐹A)y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x) ↔ x dom (𝐹A)y x (𝐹y) (𝐹x)))
5032, 49mpbird 156 . 2 ((Smo 𝐹 Ord A) → x dom (𝐹A)y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x))
51 dfsmo2 5843 . 2 (Smo (𝐹A) ↔ ((𝐹A):dom (𝐹A)⟶On Ord dom (𝐹A) x dom (𝐹A)y x ((𝐹A)‘y) ((𝐹A)‘x)))
5217, 25, 50, 51syl3anbrc 1087 1 ((Smo 𝐹 Ord A) → Smo (𝐹A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cin 2910  wss 2911  Ord word 4065  Oncon0 4066  dom cdm 4288  ran crn 4289  cres 4290  cima 4291  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  wf 4841  cfv 4845  Smo wsmo 5841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-iord 4069  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-smo 5842
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