ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  smoiun Structured version   GIF version

Theorem smoiun 5857
Description: The value of a strictly monotone ordinal function contains its indexed union. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smoiun ((Smo B A dom B) → x A (Bx) ⊆ (BA))
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem smoiun
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 3652 . . 3 (y x A (Bx) ↔ x A y (Bx))
2 smofvon 5855 . . . . 5 ((Smo B A dom B) → (BA) On)
3 smoel 5856 . . . . . 6 ((Smo B A dom B x A) → (Bx) (BA))
433expia 1105 . . . . 5 ((Smo B A dom B) → (x A → (Bx) (BA)))
5 ontr1 4092 . . . . . 6 ((BA) On → ((y (Bx) (Bx) (BA)) → y (BA)))
65expcomd 1327 . . . . 5 ((BA) On → ((Bx) (BA) → (y (Bx) → y (BA))))
72, 4, 6sylsyld 52 . . . 4 ((Smo B A dom B) → (x A → (y (Bx) → y (BA))))
87rexlimdv 2426 . . 3 ((Smo B A dom B) → (x A y (Bx) → y (BA)))
91, 8syl5bi 141 . 2 ((Smo B A dom B) → (y x A (Bx) → y (BA)))
109ssrdv 2945 1 ((Smo B A dom B) → x A (Bx) ⊆ (BA))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  wrex 2301  wss 2911   ciun 3648  Oncon0 4066  dom cdm 4288  cfv 4845  Smo wsmo 5841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-smo 5842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator