Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setindis Structured version   GIF version

Theorem setindis 7185
Description: Axiom of set induction using implicit substitutions. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
setindis.nf0 xψ
setindis.nf1 xχ
setindis.nf2 yφ
setindis.nf3 yψ
setindis.1 (x = z → (φψ))
setindis.2 (x = y → (χφ))
Assertion
Ref Expression
setindis (y(z y ψχ) → xφ)
Distinct variable groups:   x,y,z   φ,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y,z)   χ(x,y,z)

Proof of Theorem setindis
StepHypRef Expression
1 nfcv 2160 . . . . 5 xy
2 setindis.nf0 . . . . 5 xψ
31, 2nfralxy 2338 . . . 4 xz y ψ
4 setindis.nf1 . . . 4 xχ
53, 4nfim 1446 . . 3 x(z y ψχ)
6 nfcv 2160 . . . . 5 yx
7 setindis.nf3 . . . . 5 yψ
86, 7nfralxy 2338 . . . 4 yz x ψ
9 setindis.nf2 . . . 4 yφ
108, 9nfim 1446 . . 3 y(z x ψφ)
11 raleq 2483 . . . . 5 (y = x → (z y ψz x ψ))
1211biimprd 147 . . . 4 (y = x → (z x ψz y ψ))
13 setindis.2 . . . . 5 (x = y → (χφ))
1413equcoms 1576 . . . 4 (y = x → (χφ))
1512, 14imim12d 68 . . 3 (y = x → ((z y ψχ) → (z x ψφ)))
165, 10, 15cbv3 1612 . 2 (y(z y ψχ) → x(z x ψφ))
17 setindis.1 . . . . . 6 (x = z → (φψ))
182, 17bj-sbime 7020 . . . . 5 ([z / x]φψ)
1918ralimi 2362 . . . 4 (z x [z / x]φz x ψ)
2019imim1i 54 . . 3 ((z x ψφ) → (z x [z / x]φφ))
2120alimi 1324 . 2 (x(z x ψφ) → x(z x [z / x]φφ))
22 ax-setind 4204 . 2 (x(z x [z / x]φφ) → xφ)
2316, 21, 223syl 17 1 (y(z y ψχ) → xφ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wal 1226  wnf 1329  [wsb 1627  wral 2284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-setind 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289
This theorem is referenced by:  bj-inf2vnlem4  7191  bj-findis  7197
  Copyright terms: Public domain W3C validator