Theorem sborv 1767

Description: Version of sbor 1825 where x and y are distinct. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sborv	⊢ ([y / x](φ ∨ ψ) ↔ ([y / x]φ ∨ [y / x]ψ))

Distinct variable group:   x,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y)

Proof of Theorem sborv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sb5 1764	. . 3 ⊢ ([y / x](φ ∨ ψ) ↔ ∃x(x = y ∧ (φ ∨ ψ)))
2		andi 730	. . . 4 ⊢ ((x = y ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ ((x = y ∧ φ) ∨ (x = y ∧ ψ)))
3	2	exbii 1493	. . 3 ⊢ (∃x(x = y ∧ (φ ∨ ψ)) ↔ ∃x((x = y ∧ φ) ∨ (x = y ∧ ψ)))
4		19.43 1516	. . 3 ⊢ (∃x((x = y ∧ φ) ∨ (x = y ∧ ψ)) ↔ (∃x(x = y ∧ φ) ∨ ∃x(x = y ∧ ψ)))
5	1, 3, 4	3bitri 195	. 2 ⊢ ([y / x](φ ∨ ψ) ↔ (∃x(x = y ∧ φ) ∨ ∃x(x = y ∧ ψ)))
6		sb5 1764	. . 3 ⊢ ([y / x]φ ↔ ∃x(x = y ∧ φ))
7		sb5 1764	. . 3 ⊢ ([y / x]ψ ↔ ∃x(x = y ∧ ψ))
8	6, 7	orbi12i 680	. 2 ⊢ (([y / x]φ ∨ [y / x]ψ) ↔ (∃x(x = y ∧ φ) ∨ ∃x(x = y ∧ ψ)))
9	5, 8	bitr4i 176	1 ⊢ ([y / x](φ ∨ ψ) ↔ ([y / x]φ ∨ [y / x]ψ))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  ∃wex 1378  [wsb 1642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-11 1394  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-sb 1643

This theorem is referenced by:  sbor  1825