ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpaddcl GIF version

Theorem rpaddcl 8381
Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpaddcl ((A + B +) → (A + B) +)

Proof of Theorem rpaddcl
StepHypRef Expression
1 rpre 8364 . . 3 (A +A ℝ)
2 rpre 8364 . . 3 (B +B ℝ)
3 readdcl 6805 . . 3 ((A B ℝ) → (A + B) ℝ)
41, 2, 3syl2an 273 . 2 ((A + B +) → (A + B) ℝ)
5 elrp 8360 . . 3 (A + ↔ (A 0 < A))
6 elrp 8360 . . 3 (B + ↔ (B 0 < B))
7 addgt0 7238 . . . 4 (((A B ℝ) (0 < A 0 < B)) → 0 < (A + B))
87an4s 522 . . 3 (((A 0 < A) (B 0 < B)) → 0 < (A + B))
95, 6, 8syl2anb 275 . 2 ((A + B +) → 0 < (A + B))
10 elrp 8360 . 2 ((A + B) + ↔ ((A + B) 0 < (A + B)))
114, 9, 10sylanbrc 394 1 ((A + B +) → (A + B) +)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6710  0cc0 6711   + caddc 6714   < clt 6857  +crp 8358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-rp 8359
This theorem is referenced by:  rpaddcld  8412
  Copyright terms: Public domain W3C validator