Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexiunxp Structured version   GIF version

Theorem rexiunxp 4401
 Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of rexxp 4403, B(y) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1 (x = ⟨y, z⟩ → (φψ))
Assertion
Ref Expression
rexiunxp (x y A ({y} × B)φy A z B ψ)
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,z   φ,y,z   ψ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y,z)   B(y)

Proof of Theorem rexiunxp
StepHypRef Expression
1 eliunxp 4398 . . . . . 6 (x y A ({y} × B) ↔ yz(x = ⟨y, z (y A z B)))
21anbi1i 434 . . . . 5 ((x y A ({y} × B) φ) ↔ (yz(x = ⟨y, z (y A z B)) φ))
3 19.41vv 1761 . . . . 5 (yz((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ (yz(x = ⟨y, z (y A z B)) φ))
42, 3bitr4i 176 . . . 4 ((x y A ({y} × B) φ) ↔ yz((x = ⟨y, z (y A z B)) φ))
54exbii 1474 . . 3 (x(x y A ({y} × B) φ) ↔ xyz((x = ⟨y, z (y A z B)) φ))
6 exrot3 1558 . . . 4 (xyz((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ yzx((x = ⟨y, z (y A z B)) φ))
7 anass 383 . . . . . . 7 (((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ (x = ⟨y, z ((y A z B) φ)))
87exbii 1474 . . . . . 6 (x((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ x(x = ⟨y, z ((y A z B) φ)))
9 vex 2534 . . . . . . . 8 y V
10 vex 2534 . . . . . . . 8 z V
119, 10opex 3936 . . . . . . 7 y, z V
12 ralxp.1 . . . . . . . 8 (x = ⟨y, z⟩ → (φψ))
1312anbi2d 440 . . . . . . 7 (x = ⟨y, z⟩ → (((y A z B) φ) ↔ ((y A z B) ψ)))
1411, 13ceqsexv 2566 . . . . . 6 (x(x = ⟨y, z ((y A z B) φ)) ↔ ((y A z B) ψ))
158, 14bitri 173 . . . . 5 (x((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ ((y A z B) ψ))
16152exbii 1475 . . . 4 (yzx((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ yz((y A z B) ψ))
176, 16bitri 173 . . 3 (xyz((x = ⟨y, z (y A z B)) φ) ↔ yz((y A z B) ψ))
185, 17bitri 173 . 2 (x(x y A ({y} × B) φ) ↔ yz((y A z B) ψ))
19 df-rex 2286 . 2 (x y A ({y} × B)φx(x y A ({y} × B) φ))
20 r2ex 2318 . 2 (y A z B ψyz((y A z B) ψ))
2118, 19, 203bitr4i 201 1 (x y A ({y} × B)φy A z B ψ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  ∃wrex 2281  {csn 3346  ⟨cop 3349  ∪ ciun 3627   × cxp 4266 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-iun 3629  df-opab 3789  df-xp 4274  df-rel 4275 This theorem is referenced by:  rexxp  4403
 Copyright terms: Public domain W3C validator