ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reuss2 Structured version   GIF version

Theorem reuss2 3211
Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
reuss2 (((AB x A (φψ)) (x A φ ∃!x B ψ)) → ∃!x A φ)
Distinct variable groups:   x,A   x,B
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(x)

Proof of Theorem reuss2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2306 . . 3 (x A φx(x A φ))
2 df-reu 2307 . . 3 (∃!x B ψ∃!x(x B ψ))
31, 2anbi12i 433 . 2 ((x A φ ∃!x B ψ) ↔ (x(x A φ) ∃!x(x B ψ)))
4 df-ral 2305 . . . . . . 7 (x A (φψ) ↔ x(x A → (φψ)))
5 ssel 2933 . . . . . . . . . . . . . 14 (AB → (x Ax B))
6 prth 326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x Ax B) (φψ)) → ((x A φ) → (x B ψ)))
75, 6sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((AB (φψ)) → ((x A φ) → (x B ψ)))
87exp4b 349 . . . . . . . . . . . 12 (AB → ((φψ) → (x A → (φ → (x B ψ)))))
98com23 72 . . . . . . . . . . 11 (AB → (x A → ((φψ) → (φ → (x B ψ)))))
109a2d 23 . . . . . . . . . 10 (AB → ((x A → (φψ)) → (x A → (φ → (x B ψ)))))
1110imp4a 331 . . . . . . . . 9 (AB → ((x A → (φψ)) → ((x A φ) → (x B ψ))))
1211alimdv 1756 . . . . . . . 8 (AB → (x(x A → (φψ)) → x((x A φ) → (x B ψ))))
1312imp 115 . . . . . . 7 ((AB x(x A → (φψ))) → x((x A φ) → (x B ψ)))
144, 13sylan2b 271 . . . . . 6 ((AB x A (φψ)) → x((x A φ) → (x B ψ)))
15 euimmo 1964 . . . . . 6 (x((x A φ) → (x B ψ)) → (∃!x(x B ψ) → ∃*x(x A φ)))
1614, 15syl 14 . . . . 5 ((AB x A (φψ)) → (∃!x(x B ψ) → ∃*x(x A φ)))
17 eu5 1944 . . . . . 6 (∃!x(x A φ) ↔ (x(x A φ) ∃*x(x A φ)))
1817simplbi2 367 . . . . 5 (x(x A φ) → (∃*x(x A φ) → ∃!x(x A φ)))
1916, 18syl9 66 . . . 4 ((AB x A (φψ)) → (x(x A φ) → (∃!x(x B ψ) → ∃!x(x A φ))))
2019imp32 244 . . 3 (((AB x A (φψ)) (x(x A φ) ∃!x(x B ψ))) → ∃!x(x A φ))
21 df-reu 2307 . . 3 (∃!x A φ∃!x(x A φ))
2220, 21sylibr 137 . 2 (((AB x A (φψ)) (x(x A φ) ∃!x(x B ψ))) → ∃!x A φ)
233, 22sylan2b 271 1 (((AB x A (φψ)) (x A φ ∃!x B ψ)) → ∃!x A φ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240  wex 1378   wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  wral 2300  wrex 2301  ∃!wreu 2302  wss 2911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-in 2918  df-ss 2925
This theorem is referenced by:  reuss  3212  reuun1  3213  riotass2  5437
  Copyright terms: Public domain W3C validator