Theorem reuss 3212

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reuss	⊢ ((A ⊆ B ∧ ∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ) → ∃!x ∈ A φ)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Allowed substitution hint:   φ(x)

Proof of Theorem reuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 21	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → (φ → φ))
2	1	rgen 2368	. . 3 ⊢ ∀x ∈ A (φ → φ)
3		reuss2 3211	. . 3 ⊢ (((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → φ)) ∧ (∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ)) → ∃!x ∈ A φ)
4	2, 3	mpanl2 411	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ)) → ∃!x ∈ A φ)
5	4	3impb 1099	1 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B φ) → ∃!x ∈ A φ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  ∃!wreu 2302   ⊆ wss 2911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-in 2918  df-ss 2925

This theorem is referenced by:  riotass  5438