Theorem reupick2 3217

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reupick2	⊢ (((∀x ∈ A (ψ → φ) ∧ ∃x ∈ A ψ ∧ ∃!x ∈ A φ) ∧ x ∈ A) → (φ ↔ ψ))

Distinct variable group:   x,A

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(x)

Proof of Theorem reupick2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancr 304	. . . . . 6 ⊢ ((ψ → φ) → (ψ → (φ ∧ ψ)))
2	1	ralimi 2378	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ A (ψ → φ) → ∀x ∈ A (ψ → (φ ∧ ψ)))
3		rexim 2407	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ A (ψ → (φ ∧ ψ)) → (∃x ∈ A ψ → ∃x ∈ A (φ ∧ ψ)))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A (ψ → φ) → (∃x ∈ A ψ → ∃x ∈ A (φ ∧ ψ)))
5		reupick3 3216	. . . . . 6 ⊢ ((∃!x ∈ A φ ∧ ∃x ∈ A (φ ∧ ψ) ∧ x ∈ A) → (φ → ψ))
6	5	3exp 1102	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ A φ → (∃x ∈ A (φ ∧ ψ) → (x ∈ A → (φ → ψ))))
7	6	com12 27	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A (φ ∧ ψ) → (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → ψ))))
8	4, 7	syl6 29	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A (ψ → φ) → (∃x ∈ A ψ → (∃!x ∈ A φ → (x ∈ A → (φ → ψ)))))
9	8	3imp1 1116	. 2 ⊢ (((∀x ∈ A (ψ → φ) ∧ ∃x ∈ A ψ ∧ ∃!x ∈ A φ) ∧ x ∈ A) → (φ → ψ))
10		rsp 2363	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A (ψ → φ) → (x ∈ A → (ψ → φ)))
11	10	3ad2ant1 924	. . 3 ⊢ ((∀x ∈ A (ψ → φ) ∧ ∃x ∈ A ψ ∧ ∃!x ∈ A φ) → (x ∈ A → (ψ → φ)))
12	11	imp 115	. 2 ⊢ (((∀x ∈ A (ψ → φ) ∧ ∃x ∈ A ψ ∧ ∃!x ∈ A φ) ∧ x ∈ A) → (ψ → φ))
13	9, 12	impbid 120	1 ⊢ (((∀x ∈ A (ψ → φ) ∧ ∃x ∈ A ψ ∧ ∃!x ∈ A φ) ∧ x ∈ A) → (φ ↔ ψ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  ∃!wreu 2302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307

This theorem is referenced by: (None)