Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemp1rp GIF version

Theorem resqrexlemp1rp 9604
 Description: Lemma for resqrex 9624. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply iseqf 9224 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemp1rp ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemp1rp
StepHypRef Expression
1 eqidd 2041 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
42, 3oveq12d 5530 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
54oveq1d 5527 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
65ad2antrl 459 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7 simprl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8 simprr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
97rpred 8622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 261 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 7rerpdivcld 8654 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7055 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 8171 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
151, 6, 7, 8, 14ovmpt2d 5628 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
167rpgt0d 8625 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1817adantr 261 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
1911, 7, 18divge0d 8663 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 addgtge0 7445 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
219, 12, 16, 19, 20syl22anc 1136 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
2213, 21elrpd 8620 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 8635 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
2415, 23eqeltrd 2114 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  ℝ+crp 8583  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-2 7973  df-rp 8584 This theorem is referenced by:  resqrexlemf  9605  resqrexlemf1  9606  resqrexlemfp1  9607
 Copyright terms: Public domain W3C validator