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Theorem resqrexlemcvg 9591
Description: Lemma for resqrex 9598. The sequence has a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcvg (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑟 + 𝑥) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑖,𝐹,𝑗,𝑟,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑟   𝜑,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗,𝑟)   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcvg
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 9579 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 rpssre 8591 . . . 4 + ⊆ ℝ
65a1i 9 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
74, 6fssd 5055 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
8 1nn 7923 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
98a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
104, 9ffvelrnd 5303 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
11 2z 8271 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
1211a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1310, 12rpexpcld 9378 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
14 2rp 8586 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
1514a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
1613, 15rpmulcld 8637 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℝ+)
1716, 15rpmulcld 8637 . 2 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) ∈ ℝ+)
184ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
19 simplr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2018, 19ffvelrnd 5303 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ+)
2120rpred 8620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
22 eluznn 8536 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2418, 23ffvelrnd 5303 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
2524rpred 8620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2621, 25resubcld 7377 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2717ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) ∈ ℝ+)
2814a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
2919nnzd 8357 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
3028, 29rpexpcld 9378 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
3127, 30rpdivcld 8638 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
3231rpred 8620 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3319nnrpd 8619 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3427, 33rpdivcld 8638 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 8620 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ∈ ℝ)
362ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ∈ ℝ)
373ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 0 ≤ 𝐴)
38 eluzle 8483 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘)
3938adantl 262 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑘)
401, 36, 37, 19, 23, 39resqrexlemnm 9590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
41 2cn 7984 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
42 expm1t 9257 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 − 1)) · 2))
4341, 19, 42sylancr 393 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) = ((2↑(𝑛 − 1)) · 2))
4443oveq2d 5528 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) = (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / ((2↑(𝑛 − 1)) · 2)))
458a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℕ)
4618, 45ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4711a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℤ)
4846, 47rpexpcld 9378 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
4948, 28rpmulcld 8637 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 8622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
5141a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
52 nnm1nn0 8221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5319, 52syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 9355 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
55 2ap0 8007 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
5655a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 2 # 0)
57 1zzd 8270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 1 ∈ ℤ)
5829, 57zsubcld 8363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
5951, 56, 58expap0d 9361 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑(𝑛 − 1)) # 0)
6050, 54, 51, 59, 56divcanap5rd 7790 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / ((2↑(𝑛 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
6144, 60eqtrd 2072 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑛 − 1))))
6240, 61breqtrrd 3790 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)))
63 uzid 8485 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
6411, 63ax-mp 7 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℤ‘2)
6519nnnn0d 8233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
66 bernneq3 9345 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 < (2↑𝑛))
6764, 65, 66sylancr 393 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 < (2↑𝑛))
6833, 30, 27ltdiv2d 8644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 < (2↑𝑛) ↔ (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
6967, 68mpbid 135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / (2↑𝑛)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))
7026, 32, 35, 62, 69lttrd 7138 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))
7121, 25, 35ltsubadd2d 7532 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐹𝑘)) < (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
7270, 71mpbid 135 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
7321, 35readdcld 7053 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∈ ℝ)
7425adantr 261 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7521adantr 261 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
7636adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
7737adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 0 ≤ 𝐴)
7819adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
7923adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
80 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
811, 76, 77, 78, 79, 80resqrexlemdecn 9584 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) < (𝐹𝑛))
8274, 75, 81ltled 7133 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 < 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
83 fveq2 5178 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
8483eqcomd 2045 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
85 eqle 7107 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
8625, 84, 85syl2an 273 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
8723nnzd 8357 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
88 zleloe 8290 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘)))
8929, 87, 88syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛𝑘 ↔ (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘)))
9039, 89mpbid 135 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑛 < 𝑘𝑛 = 𝑘))
9182, 86, 90mpjaodan 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹𝑛))
9221, 34ltaddrpd 8654 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
9325, 21, 73, 91, 92lelttrd 7137 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)))
9472, 93jca 290 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
9594ralrimiva 2392 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
9695ralrimiva 2392 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (((((𝐹‘1)↑2) · 2) · 2) / 𝑛))))
977, 17, 96cvg1n 9559 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑟 + 𝑥) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  wrex 2307  wss 2917  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  cmpt2 5514  cc 6885  cr 6886  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890   · cmul 6892   < clt 7058  cle 7059  cmin 7180   # cap 7570   / cdiv 7649  cn 7912  2c2 7962  0cn0 8179  cz 8243  cuz 8471  +crp 8581  seqcseq 9185  cexp 9228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000  ax-arch 7001  ax-caucvg 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-iseq 9186  df-iexp 9229
This theorem is referenced by:  resqrexlemex  9597
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