ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc1 GIF version

Theorem resqrexlemcalc1 9612
Description: Lemma for resqrex 9624. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 9607 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
54oveq1d 5527 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2)↑2))
61, 2, 3resqrexlemf 9605 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelrnda 5302 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
87rpred 8622 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
92adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
109, 7rerpdivcld 8654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 7055 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
1211recnd 7054 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℂ)
13 2cnd 7988 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14 2ap0 8009 . . . . . . . 8 2 # 0
1514a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
1612, 13, 15sqdivapd 9394 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)))
175, 16eqtrd 2072 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18 sq2 9349 . . . . . 6 (2↑2) = 4
1918oveq2i 5523 . . . . 5 ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4)
2017, 19syl6eq 2088 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4))
219recnd 7054 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 4cn 7993 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
2322a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24 4re 7992 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26 4pos 8013 . . . . . . . 8 0 < 4
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
2825, 27gt0ap0d 7619 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
2921, 23, 28divcanap3d 7770 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
3029eqcomd 2045 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
3120, 30oveq12d 5530 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
3212sqcld 9379 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
3323, 21mulcld 7047 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 7804 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
3531, 34eqtr4d 2075 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
368recnd 7054 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
3736sqcld 9379 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3813, 21mulcld 7047 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
3937, 38, 33addsubassd 7342 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40 2cn 7986 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
4122, 40negsubdi2i 7297 . . . . . . . . . . 11 -(4 − 2) = (2 − 4)
42 2p2e4 8037 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
4342oveq1i 5522 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
4440, 40pncan3oi 7227 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 2) − 2) = 2
4543, 44eqtr3i 2062 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 2) = 2
4645negeqi 7205 . . . . . . . . . . 11 -(4 − 2) = -2
4741, 46eqtr3i 2062 . . . . . . . . . 10 (2 − 4) = -2
4847oveq1i 5522 . . . . . . . . 9 ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
4913, 23, 21subdird 7412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
5013, 21mulneg1d 7408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
5148, 49, 503eqtr3a 2096 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
5251oveq2d 5528 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
5337, 38negsubd 7328 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
5439, 52, 533eqtrd 2076 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
5554oveq1d 5527 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
5610recnd 7054 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℂ)
57 binom2 9362 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
5836, 56, 57syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
597rpap0d 8628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
6021, 36, 59divcanap2d 7767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))) = 𝐴)
6160oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁)))) = (2 · 𝐴))
6261oveq2d 5528 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) = (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
6362oveq1d 5527 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6458, 63eqtrd 2072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6564oveq1d 5527 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
6637, 38addcld 7046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6756sqcld 9379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) ∈ ℂ)
6866, 67, 33addsubd 7343 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6965, 68eqtrd 2072 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
7037, 38subcld 7322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7170, 67addcld 7046 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72 2z 8273 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7372a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
747, 73rpexpcld 9404 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
7574rpap0d 8628 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
7671, 37, 75divcanap4d 7771 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
7755, 69, 763eqtr4d 2082 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)))
7837, 38, 37subdird 7412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2))))
7937sqvald 9378 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8013, 21, 37mul32d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹𝑁)↑2)) · 𝐴))
8113, 37, 21mulassd 7050 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴)))
8280, 81eqtr2d 2073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8379, 82oveq12d 5530 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2))))
8478, 83eqtr4d 2075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))))
8521, 36, 59sqdivapd 9394 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
8685oveq1d 5527 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8721sqcld 9379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8887, 37, 75divcanap1d 7766 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
8986, 88eqtrd 2072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
9084, 89oveq12d 5530 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9170, 67, 37adddird 7052 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2))))
92 binom2sub 9364 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9337, 21, 92syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9490, 91, 933eqtr4d 2082 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
9594oveq1d 5527 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
9677, 95eqtrd 2072 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
9796oveq1d 5527 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4))
9837, 21subcld 7322 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
9998sqcld 9379 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 7796 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
10137, 23mulcomd 7048 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹𝑁)↑2)))
102101oveq2d 5528 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
103100, 102eqtrd 2072 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
10435, 97, 1033eqtrd 2076 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  cfv 4902  (class class class)co 5512  cmpt2 5514  cc 6887  cr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060  cle 7061  cmin 7182  -cneg 7183   # cap 7572   / cdiv 7651  cn 7914  2c2 7964  4c4 7966  cz 8245  +crp 8583  seqcseq 9211  cexp 9254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  9613
  Copyright terms: Public domain W3C validator