Theorem res0 4616

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4357	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 4420	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 3135	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 3252	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2064	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1243  Vcvv 2557   ∩ cin 2916  ∅c0 3224   × cxp 4343   ↾ cres 4347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-res 4357

This theorem is referenced by:  ima0  4684  resdisj  4751  smo0  5913  tfr0  5937