Theorem rereim 7350

Description: Decomposition of a real number into real part (itself) and imaginary part (zero). (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rereim	⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (B = A ∧ 𝐶 = 0))

Proof of Theorem rereim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → A ∈ ℝ)
2	1	recnd 6831	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → A ∈ ℂ)
3		simplr 482	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → B ∈ ℝ)
4	3	recnd 6831	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → B ∈ ℂ)
5		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → A = (B + (i · 𝐶)))
6	5	eqcomd 2042	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (B + (i · 𝐶)) = A)
7		ax-icn 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → i ∈ ℂ)
9		simprl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 6825	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℂ)
12	2, 4, 11	subaddd 7116	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → ((A − B) = (i · 𝐶) ↔ (B + (i · 𝐶)) = A))
13	6, 12	mpbird 156	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (A − B) = (i · 𝐶))
14	1, 3	resubcld 7155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (A − B) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrd 2112	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℝ)
16		rimul 7349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐶) ∈ ℝ) → 𝐶 = 0)
17	9, 15, 16	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → 𝐶 = 0)
18	17	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = (i · 0))
19	7	mul01i 7164	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
20	18, 19	syl6eq 2085	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = 0)
21	13, 20	eqtrd 2069	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (A − B) = 0)
22	2, 4, 21	subeq0d 7106	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → A = B)
23	22	eqcomd 2042	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → B = A)
24	23, 17	jca 290	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ A = (B + (i · 𝐶)))) → (B = A ∧ 𝐶 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  ℝcr 6690  0cc0 6691  ici 6693   + caddc 6694   · cmul 6696   − cmin 6959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339

This theorem is referenced by:  apreap  7351