Theorem relopabi 4406

Description: A class of ordered pairs is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
relopabi.1	⊢ A = {⟨x, y⟩ ∣ φ}

Assertion

Ref	Expression
relopabi	⊢ Rel A

Proof of Theorem relopabi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabi.1	. . . 4 ⊢ A = {⟨x, y⟩ ∣ φ}
2		df-opab 3810	. . . 4 ⊢ {⟨x, y⟩ ∣ φ} = {z ∣ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)}
3	1, 2	eqtri 2057	. . 3 ⊢ A = {z ∣ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)}
4		vex 2554	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
5		vex 2554	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
6	4, 5	opelvv 4333	. . . . . . 7 ⊢ ⟨x, y⟩ ∈ (V × V)
7		eleq1 2097	. . . . . . 7 ⊢ (z = ⟨x, y⟩ → (z ∈ (V × V) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (V × V)))
8	6, 7	mpbiri 157	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟨x, y⟩ → z ∈ (V × V))
9	8	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → z ∈ (V × V))
10	9	exlimivv 1773	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) → z ∈ (V × V))
11	10	abssi 3009	. . 3 ⊢ {z ∣ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ)} ⊆ (V × V)
12	3, 11	eqsstri 2969	. 2 ⊢ A ⊆ (V × V)
13		df-rel 4295	. 2 ⊢ (Rel A ↔ A ⊆ (V × V))
14	12, 13	mpbir 134	1 ⊢ Rel A

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370  {copab 3808   × cxp 4286  Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295

This theorem is referenced by:  relopab  4407  reli  4408  rele  4409  relcnv  4646  cotr  4649  relco  4762  reloprab  5495  reldmoprab  5531  eqer  6074  ecopover  6140  ecopoverg  6143  relen  6161  reldom  6162  enq0er  6418