ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldm0 Structured version   GIF version

Theorem reldm0 4496
Description: A relation is empty iff its domain is empty. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
reldm0 (Rel A → (A = ∅ ↔ dom A = ∅))

Proof of Theorem reldm0
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rel0 4405 . . 3 Rel ∅
2 eqrel 4372 . . 3 ((Rel A Rel ∅) → (A = ∅ ↔ xy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅)))
31, 2mpan2 401 . 2 (Rel A → (A = ∅ ↔ xy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅)))
4 eq0 3233 . . 3 (dom A = ∅ ↔ x ¬ x dom A)
5 alnex 1385 . . . . . 6 (y ¬ ⟨x, y A ↔ ¬ yx, y A)
6 vex 2554 . . . . . . 7 x V
76eldm2 4476 . . . . . 6 (x dom Ayx, y A)
85, 7xchbinxr 607 . . . . 5 (y ¬ ⟨x, y A ↔ ¬ x dom A)
9 noel 3222 . . . . . . 7 ¬ ⟨x, y
109nbn 614 . . . . . 6 (¬ ⟨x, y A ↔ (⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅))
1110albii 1356 . . . . 5 (y ¬ ⟨x, y Ay(⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅))
128, 11bitr3i 175 . . . 4 x dom Ay(⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅))
1312albii 1356 . . 3 (x ¬ x dom Axy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅))
144, 13bitr2i 174 . 2 (xy(⟨x, y A ↔ ⟨x, y ∅) ↔ dom A = ∅)
153, 14syl6bb 185 1 (Rel A → (A = ∅ ↔ dom A = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  c0 3218  cop 3370  dom cdm 4288  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-dm 4298
This theorem is referenced by:  relrn0  4537  fnresdisj  4952  fn0  4961  fsnunfv  5306
  Copyright terms: Public domain W3C validator