ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reean Structured version   GIF version

Theorem reean 2472
Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
reean.1 yφ
reean.2 xψ
Assertion
Ref Expression
reean (x A y B (φ ψ) ↔ (x A φ y B ψ))
Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem reean
StepHypRef Expression
1 an4 520 . . . 4 (((x A y B) (φ ψ)) ↔ ((x A φ) (y B ψ)))
212exbii 1494 . . 3 (xy((x A y B) (φ ψ)) ↔ xy((x A φ) (y B ψ)))
3 nfv 1418 . . . . 5 y x A
4 reean.1 . . . . 5 yφ
53, 4nfan 1454 . . . 4 y(x A φ)
6 nfv 1418 . . . . 5 x y B
7 reean.2 . . . . 5 xψ
86, 7nfan 1454 . . . 4 x(y B ψ)
95, 8eean 1803 . . 3 (xy((x A φ) (y B ψ)) ↔ (x(x A φ) y(y B ψ)))
102, 9bitri 173 . 2 (xy((x A y B) (φ ψ)) ↔ (x(x A φ) y(y B ψ)))
11 r2ex 2338 . 2 (x A y B (φ ψ) ↔ xy((x A y B) (φ ψ)))
12 df-rex 2306 . . 3 (x A φx(x A φ))
13 df-rex 2306 . . 3 (y B ψy(y B ψ))
1412, 13anbi12i 433 . 2 ((x A φ y B ψ) ↔ (x(x A φ) y(y B ψ)))
1510, 11, 143bitr4i 201 1 (x A y B (φ ψ) ↔ (x A φ y B ψ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98  wnf 1346  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306
This theorem is referenced by:  reeanv  2473
  Copyright terms: Public domain W3C validator