ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recrecnq Structured version   GIF version

Theorem recrecnq 6378
Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
recrecnq (A Q → (*Q‘(*QA)) = A)

Proof of Theorem recrecnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 6376 . . . 4 (A Q → (*QA) Q)
2 mulcomnqg 6367 . . . 4 (((*QA) Q A Q) → ((*QA) ·Q A) = (A ·Q (*QA)))
31, 2mpancom 399 . . 3 (A Q → ((*QA) ·Q A) = (A ·Q (*QA)))
4 recidnq 6377 . . 3 (A Q → (A ·Q (*QA)) = 1Q)
53, 4eqtrd 2069 . 2 (A Q → ((*QA) ·Q A) = 1Q)
6 recmulnqg 6375 . . 3 (((*QA) Q A Q) → ((*Q‘(*QA)) = A ↔ ((*QA) ·Q A) = 1Q))
71, 6mpancom 399 . 2 (A Q → ((*Q‘(*QA)) = A ↔ ((*QA) ·Q A) = 1Q))
85, 7mpbird 156 1 (A Q → (*Q‘(*QA)) = A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336
This theorem is referenced by:  recexprlemm  6594  recexprlemloc  6601
  Copyright terms: Public domain W3C validator