ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexsrlem Structured version   GIF version

Theorem recexsrlem 6518
Description: The reciprocal of a positive signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
recexsrlem (0R <R Ax R (A ·R x) = 1R)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexsrlem
StepHypRef Expression
1 recexgt0sr 6517 . 2 (0R <R Ax R (0R <R x (A ·R x) = 1R))
2 ax-ia2 100 . . 3 ((0R <R x (A ·R x) = 1R) → (A ·R x) = 1R)
32reximi 2390 . 2 (x R (0R <R x (A ·R x) = 1R) → x R (A ·R x) = 1R)
41, 3syl 14 1 (0R <R Ax R (A ·R x) = 1R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1226  wrex 2281   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  Rcnr 6151  0Rc0r 6152  1Rc1r 6153   ·R cmr 6156   <R cltr 6157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-i1p 6315  df-iplp 6316  df-imp 6317  df-iltp 6318  df-enr 6470  df-nr 6471  df-mr 6473  df-ltr 6474  df-0r 6475  df-1r 6476
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator