ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemrnd GIF version

Theorem recexprlemrnd 6727
Description: 𝐵 is rounded. Lemma for recexpr 6736. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemrnd (𝐴P → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemrnd
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . . . 6 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
21recexprlemopl 6723 . . . . 5 ((𝐴P𝑞Q𝑞 ∈ (1st𝐵)) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)))
323expia 1106 . . . 4 ((𝐴P𝑞Q) → (𝑞 ∈ (1st𝐵) → ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))))
41recexprlemlol 6724 . . . 4 ((𝐴P𝑞Q) → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵)) → 𝑞 ∈ (1st𝐵)))
53, 4impbid 120 . . 3 ((𝐴P𝑞Q) → (𝑞 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))))
65ralrimiva 2392 . 2 (𝐴P → ∀𝑞Q (𝑞 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))))
71recexprlemopu 6725 . . . . 5 ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
873expia 1106 . . . 4 ((𝐴P𝑟Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
91recexprlemupu 6726 . . . 4 ((𝐴P𝑟Q) → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵)))
108, 9impbid 120 . . 3 ((𝐴P𝑟Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
1110ralrimiva 2392 . 2 (𝐴P → ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
126, 11jca 290 1 (𝐴P → (∀𝑞Q (𝑞 ∈ (1st𝐵) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐵))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  {cab 2026  wral 2306  wrex 2307  cop 3378   class class class wbr 3764  cfv 4902  1st c1st 5765  2nd c2nd 5766  Qcnq 6378  *Qcrq 6382   <Q cltq 6383  Pcnp 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  recexprlempr  6730
  Copyright terms: Public domain W3C validator