Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rebtwn2zlemshrink GIF version

Theorem rebtwn2zlemshrink 9108
 Description: Lemma for rebtwn2z 9109. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
rebtwn2zlemshrink ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rebtwn2zlemshrink
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 905 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ (ℤ‘2))
2 3simpb 902 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3 2z 8273 . . 3 2 ∈ ℤ
4 oveq2 5520 . . . . . . . 8 (𝑤 = 2 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 2))
54breq2d 3776 . . . . . . 7 (𝑤 = 2 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 2)))
65anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑤 = 2 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))))
76rexbidv 2327 . . . . 5 (𝑤 = 2 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))))
87anbi2d 437 . . . 4 (𝑤 = 2 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)))))
98imbi1d 220 . . 3 (𝑤 = 2 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
10 oveq2 5520 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
1110breq2d 3776 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
1211anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1312rexbidv 2327 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
1413anbi2d 437 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
1514imbi1d 220 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
16 oveq2 5520 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
1716breq2d 3776 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
1817anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
1918rexbidv 2327 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
2019anbi2d 437 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
2120imbi1d 220 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
22 oveq2 5520 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
2322breq2d 3776 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
2423anbi2d 437 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2524rexbidv 2327 . . . . 5 (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
2625anbi2d 437 . . . 4 (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
2726imbi1d 220 . . 3 (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
28 breq1 3767 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 < 𝐴𝑥 < 𝐴))
29 oveq1 5519 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 2) = (𝑥 + 2))
3029breq2d 3776 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
3128, 30anbi12d 442 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
3231cbvrexv 2534 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
3332biimpi 113 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
3433adantl 262 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
35 rebtwn2zlemstep 9107 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
36353expia 1106 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
3736imdistanda 422 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
3837imim1d 69 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))))
393, 9, 15, 21, 27, 34, 38uzind4i 8535 . 2 (𝐽 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
401, 2, 39sylc 56 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060  2c2 7964  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  rebtwn2z  9109
 Copyright terms: Public domain W3C validator