Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgtfr GIF version

Theorem rdgtfr 5901
 Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgtfr ((z(𝐹z) V A 𝑉) → (Fun (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))) ((g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))‘f) V))
Distinct variable groups:   A,g   x,g,z,𝐹
Allowed substitution hints:   A(x,z,f)   𝐹(f)   𝑉(x,z,f,g)

Proof of Theorem rdgtfr
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2 (A 𝑉A V)
2 funmpt 4881 . . . 4 Fun (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))
3 vex 2554 . . . . 5 f V
4 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 g V
54dmex 4541 . . . . . . . . . 10 dom g V
6 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 x V
74, 6fvex 5138 . . . . . . . . . . . 12 (gx) V
8 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (z = (gx) → (𝐹z) = (𝐹‘(gx)))
98eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12 (z = (gx) → ((𝐹z) V ↔ (𝐹‘(gx)) V))
107, 9spcv 2640 . . . . . . . . . . 11 (z(𝐹z) V → (𝐹‘(gx)) V)
1110ralrimivw 2387 . . . . . . . . . 10 (z(𝐹z) V → x dom g(𝐹‘(gx)) V)
12 iunexg 5688 . . . . . . . . . 10 ((dom g V x dom g(𝐹‘(gx)) V) → x dom g(𝐹‘(gx)) V)
135, 11, 12sylancr 393 . . . . . . . . 9 (z(𝐹z) V → x dom g(𝐹‘(gx)) V)
14 unexg 4144 . . . . . . . . 9 ((A V x dom g(𝐹‘(gx)) V) → (A x dom g(𝐹‘(gx))) V)
1513, 14sylan2 270 . . . . . . . 8 ((A V z(𝐹z) V) → (A x dom g(𝐹‘(gx))) V)
1615ancoms 255 . . . . . . 7 ((z(𝐹z) V A V) → (A x dom g(𝐹‘(gx))) V)
1716ralrimivw 2387 . . . . . 6 ((z(𝐹z) V A V) → g V (A x dom g(𝐹‘(gx))) V)
18 dmmptg 4761 . . . . . 6 (g V (A x dom g(𝐹‘(gx))) V → dom (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))) = V)
1917, 18syl 14 . . . . 5 ((z(𝐹z) V A V) → dom (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))) = V)
203, 19syl5eleqr 2124 . . . 4 ((z(𝐹z) V A V) → f dom (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))))
21 funfvex 5135 . . . 4 ((Fun (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))) f dom (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))) → ((g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))‘f) V)
222, 20, 21sylancr 393 . . 3 ((z(𝐹z) V A V) → ((g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))‘f) V)
2322, 2jctil 295 . 2 ((z(𝐹z) V A V) → (Fun (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))) ((g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))‘f) V))
241, 23sylan2 270 1 ((z(𝐹z) V A 𝑉) → (Fun (g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx)))) ((g V ↦ (A x dom g(𝐹‘(gx))))‘f) V))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  Vcvv 2551   ∪ cun 2909  ∪ ciun 3648   ↦ cmpt 3809  dom cdm 4288  Fun wfun 4839  ‘cfv 4845 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853 This theorem is referenced by:  rdgifnon2  5907
 Copyright terms: Public domain W3C validator