Theorem rdgexggg 5904

Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgexggg	⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, A)‘B) ∈ V)

Proof of Theorem rdgexggg

Dummy variables g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 5897	. . 3 ⊢ rec(𝐹, A) = recs((g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x)))))
2		rdgruledefgg 5902	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉) → (Fun (g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x)))) ∧ ((g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x))))‘y) ∈ V))
3	2	alrimiv 1751	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉) → ∀y(Fun (g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x)))) ∧ ((g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x))))‘y) ∈ V))
4	1, 3	tfrex 5895	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉) ∧ B ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, A)‘B) ∈ V)
5	4	3impa 1098	1 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, A)‘B) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∪ cun 2909  ∪ ciun 3648   ↦ cmpt 3809  dom cdm 4288  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  reccrdg 5896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897

This theorem is referenced by:  rdgexgg  5905  rdgisucinc  5912  omv  5974  oeiv  5975