Theorem rdgexggg 5884

Description: The recursive definition generator produces a set on a set input. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgexggg	⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, A)‘B) ∈ V)

Proof of Theorem rdgexggg

Dummy variables g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-irdg 5878	. . 3 ⊢ rec(𝐹, A) = recs((g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x)))))
2		rdgruledefgg 5882	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉) → (Fun (g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x)))) ∧ ((g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x))))‘y) ∈ V))
3	2	alrimiv 1736	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉) → ∀y(Fun (g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x)))) ∧ ((g ∈ V ↦ (A ∪ ∪ x ∈ dom g(𝐹‘(g‘x))))‘y) ∈ V))
4	1, 3	tfrex 5876	. 2 ⊢ (((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉) ∧ B ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, A)‘B) ∈ V)
5	4	3impa 1085	1 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ A ∈ 𝑉 ∧ B ∈ 𝑊) → (rec(𝐹, A)‘B) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 873   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535   ∪ cun 2892  ∪ ciun 3631   ↦ cmpt 3792  dom cdm 4272  Fun wfun 4823   Fn wfn 4824  ‘cfv 4829  reccrdg 5877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-recs 5842  df-irdg 5878

This theorem is referenced by:  rdgexgg  5885  rdgisucinc  5892  omv  5950  oeiv  5951