ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ralrnmpt2 Structured version   GIF version

Theorem ralrnmpt2 5534
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1 𝐹 = (x A, y B𝐶)
ralrnmpt2.2 (z = 𝐶 → (φψ))
Assertion
Ref Expression
ralrnmpt2 (x A y B 𝐶 𝑉 → (z ran 𝐹φx A y B ψ))
Distinct variable groups:   y,z,A   z,B   z,𝐶   z,𝐹   ψ,z   x,y,z   φ,x,y
Allowed substitution hints:   φ(z)   ψ(x,y)   A(x)   B(x,y)   𝐶(x,y)   𝐹(x,y)   𝑉(x,y,z)

Proof of Theorem ralrnmpt2
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . . 5 𝐹 = (x A, y B𝐶)
21rnmpt2 5530 . . . 4 ran 𝐹 = {wx A y B w = 𝐶}
32raleqi 2483 . . 3 (z ran 𝐹φz {wx A y B w = 𝐶}φ)
4 eqeq1 2024 . . . . 5 (w = z → (w = 𝐶z = 𝐶))
542rexbidv 2323 . . . 4 (w = z → (x A y B w = 𝐶x A y B z = 𝐶))
65ralab 2674 . . 3 (z {wx A y B w = 𝐶}φz(x A y B z = 𝐶φ))
7 ralcom4 2549 . . . 4 (x A z(y B z = 𝐶φ) ↔ zx A (y B z = 𝐶φ))
8 r19.23v 2399 . . . . 5 (x A (y B z = 𝐶φ) ↔ (x A y B z = 𝐶φ))
98albii 1335 . . . 4 (zx A (y B z = 𝐶φ) ↔ z(x A y B z = 𝐶φ))
107, 9bitr2i 174 . . 3 (z(x A y B z = 𝐶φ) ↔ x A z(y B z = 𝐶φ))
113, 6, 103bitri 195 . 2 (z ran 𝐹φx A z(y B z = 𝐶φ))
12 ralcom4 2549 . . . . . 6 (y B z(z = 𝐶φ) ↔ zy B (z = 𝐶φ))
13 r19.23v 2399 . . . . . . 7 (y B (z = 𝐶φ) ↔ (y B z = 𝐶φ))
1413albii 1335 . . . . . 6 (zy B (z = 𝐶φ) ↔ z(y B z = 𝐶φ))
1512, 14bitri 173 . . . . 5 (y B z(z = 𝐶φ) ↔ z(y B z = 𝐶φ))
16 nfv 1398 . . . . . . . 8 zψ
17 ralrnmpt2.2 . . . . . . . 8 (z = 𝐶 → (φψ))
1816, 17ceqsalg 2555 . . . . . . 7 (𝐶 𝑉 → (z(z = 𝐶φ) ↔ ψ))
1918ralimi 2358 . . . . . 6 (y B 𝐶 𝑉y B (z(z = 𝐶φ) ↔ ψ))
20 ralbi 2419 . . . . . 6 (y B (z(z = 𝐶φ) ↔ ψ) → (y B z(z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
2119, 20syl 14 . . . . 5 (y B 𝐶 𝑉 → (y B z(z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
2215, 21syl5bbr 183 . . . 4 (y B 𝐶 𝑉 → (z(y B z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
2322ralimi 2358 . . 3 (x A y B 𝐶 𝑉x A (z(y B z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
24 ralbi 2419 . . 3 (x A (z(y B z = 𝐶φ) ↔ y B ψ) → (x A z(y B z = 𝐶φ) ↔ x A y B ψ))
2523, 24syl 14 . 2 (x A y B 𝐶 𝑉 → (x A z(y B z = 𝐶φ) ↔ x A y B ψ))
2611, 25syl5bb 181 1 (x A y B 𝐶 𝑉 → (z ran 𝐹φx A y B ψ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98  wal 1224   = wceq 1226   wcel 1370  {cab 2004  wral 2280  wrex 2281  ran crn 4269  cmpt2 5434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-br 3735  df-opab 3789  df-cnv 4276  df-dm 4278  df-rn 4279  df-oprab 5436  df-mpt2 5437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator