ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ralrnmpt2 Structured version   GIF version

Theorem ralrnmpt2 5557
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1 𝐹 = (x A, y B𝐶)
ralrnmpt2.2 (z = 𝐶 → (φψ))
Assertion
Ref Expression
ralrnmpt2 (x A y B 𝐶 𝑉 → (z ran 𝐹φx A y B ψ))
Distinct variable groups:   y,z,A   z,B   z,𝐶   z,𝐹   ψ,z   x,y,z   φ,x,y
Allowed substitution hints:   φ(z)   ψ(x,y)   A(x)   B(x,y)   𝐶(x,y)   𝐹(x,y)   𝑉(x,y,z)

Proof of Theorem ralrnmpt2
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . . 5 𝐹 = (x A, y B𝐶)
21rnmpt2 5553 . . . 4 ran 𝐹 = {wx A y B w = 𝐶}
32raleqi 2503 . . 3 (z ran 𝐹φz {wx A y B w = 𝐶}φ)
4 eqeq1 2043 . . . . 5 (w = z → (w = 𝐶z = 𝐶))
542rexbidv 2343 . . . 4 (w = z → (x A y B w = 𝐶x A y B z = 𝐶))
65ralab 2695 . . 3 (z {wx A y B w = 𝐶}φz(x A y B z = 𝐶φ))
7 ralcom4 2570 . . . 4 (x A z(y B z = 𝐶φ) ↔ zx A (y B z = 𝐶φ))
8 r19.23v 2419 . . . . 5 (x A (y B z = 𝐶φ) ↔ (x A y B z = 𝐶φ))
98albii 1356 . . . 4 (zx A (y B z = 𝐶φ) ↔ z(x A y B z = 𝐶φ))
107, 9bitr2i 174 . . 3 (z(x A y B z = 𝐶φ) ↔ x A z(y B z = 𝐶φ))
113, 6, 103bitri 195 . 2 (z ran 𝐹φx A z(y B z = 𝐶φ))
12 ralcom4 2570 . . . . . 6 (y B z(z = 𝐶φ) ↔ zy B (z = 𝐶φ))
13 r19.23v 2419 . . . . . . 7 (y B (z = 𝐶φ) ↔ (y B z = 𝐶φ))
1413albii 1356 . . . . . 6 (zy B (z = 𝐶φ) ↔ z(y B z = 𝐶φ))
1512, 14bitri 173 . . . . 5 (y B z(z = 𝐶φ) ↔ z(y B z = 𝐶φ))
16 nfv 1418 . . . . . . . 8 zψ
17 ralrnmpt2.2 . . . . . . . 8 (z = 𝐶 → (φψ))
1816, 17ceqsalg 2576 . . . . . . 7 (𝐶 𝑉 → (z(z = 𝐶φ) ↔ ψ))
1918ralimi 2378 . . . . . 6 (y B 𝐶 𝑉y B (z(z = 𝐶φ) ↔ ψ))
20 ralbi 2439 . . . . . 6 (y B (z(z = 𝐶φ) ↔ ψ) → (y B z(z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
2119, 20syl 14 . . . . 5 (y B 𝐶 𝑉 → (y B z(z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
2215, 21syl5bbr 183 . . . 4 (y B 𝐶 𝑉 → (z(y B z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
2322ralimi 2378 . . 3 (x A y B 𝐶 𝑉x A (z(y B z = 𝐶φ) ↔ y B ψ))
24 ralbi 2439 . . 3 (x A (z(y B z = 𝐶φ) ↔ y B ψ) → (x A z(y B z = 𝐶φ) ↔ x A y B ψ))
2523, 24syl 14 . 2 (x A y B 𝐶 𝑉 → (x A z(y B z = 𝐶φ) ↔ x A y B ψ))
2611, 25syl5bb 181 1 (x A y B 𝐶 𝑉 → (z ran 𝐹φx A y B ψ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  ran crn 4289  cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-oprab 5459  df-mpt2 5460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator