ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prubl GIF version

Theorem prubl 6582
Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prubl (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prubl
StepHypRef Expression
1 eleq1 2100 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐿𝐶𝐿))
21biimpcd 148 . . . . . 6 (𝐵𝐿 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐿))
32adantl 262 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐿))
4 prcdnql 6580 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))
53, 4jaod 637 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ((𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿))
65con3d 561 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (¬ 𝐶𝐿 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
76adantr 261 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
8 elprnql 6577 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
9 nqtric 6495 . . 3 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
108, 9sylan 267 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
117, 10sylibrd 158 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378   class class class wbr 3764  Qcnq 6376   <Q cltq 6381  Pcnp 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-mi 6402  df-lti 6403  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-ltnqqs 6449  df-inp 6562
This theorem is referenced by:  prltlu  6583
  Copyright terms: Public domain W3C validator