ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prltlu Structured version   GIF version

Theorem prltlu 6469
Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prltlu ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → B <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 905 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → 𝐶 𝑈)
2 elprnqu 6464 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → 𝐶 Q)
323adant2 922 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → 𝐶 Q)
4 elinp 6456 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
5 simpr2 910 . . . . . . 7 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
64, 5sylbi 114 . . . . . 6 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
763ad2ant1 924 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
8 eleq1 2097 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 𝐿𝐶 𝐿))
9 eleq1 2097 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 𝑈𝐶 𝑈))
108, 9anbi12d 442 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) ↔ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈)))
1110notbid 591 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈)))
1211rspcv 2646 . . . . 5 (𝐶 Q → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) → ¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈)))
133, 7, 12sylc 56 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → ¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈))
14 ancom 253 . . . . . 6 ((𝐶 𝐿 𝐶 𝑈) ↔ (𝐶 𝑈 𝐶 𝐿))
1514notbii 593 . . . . 5 (¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 𝑈 𝐶 𝐿))
16 imnan 623 . . . . 5 ((𝐶 𝑈 → ¬ 𝐶 𝐿) ↔ ¬ (𝐶 𝑈 𝐶 𝐿))
1715, 16bitr4i 176 . . . 4 (¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈) ↔ (𝐶 𝑈 → ¬ 𝐶 𝐿))
1813, 17sylib 127 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → (𝐶 𝑈 → ¬ 𝐶 𝐿))
191, 18mpd 13 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → ¬ 𝐶 𝐿)
20 3simpa 900 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿))
21 prubl 6468 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 Q) → (¬ 𝐶 𝐿B <Q 𝐶))
2220, 3, 21syl2anc 391 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → (¬ 𝐶 𝐿B <Q 𝐶))
2319, 22mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → B <Q 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  Qcnq 6264   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  genpdisj  6506  prmuloc  6545  ltprordil  6563  ltpopr  6567  ltexprlemopu  6575  ltexprlemdisj  6578  ltexprlemfl  6581  ltexprlemfu  6583  ltexprlemru  6584  recexprlemdisj  6600  recexprlemss1l  6605  recexprlemss1u  6606
  Copyright terms: Public domain W3C validator