ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prltlu Structured version   GIF version

Theorem prltlu 6341
Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prltlu ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → B <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 894 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → 𝐶 𝑈)
2 elprnqu 6336 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → 𝐶 Q)
323adant2 911 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → 𝐶 Q)
4 elinp 6328 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
5 simpr2 899 . . . . . . 7 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
64, 5sylbi 114 . . . . . 6 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
763ad2ant1 913 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
8 eleq1 2082 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 𝐿𝐶 𝐿))
9 eleq1 2082 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 𝑈𝐶 𝑈))
108, 9anbi12d 445 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) ↔ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈)))
1110notbid 579 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈)))
1211rspcv 2629 . . . . 5 (𝐶 Q → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) → ¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈)))
133, 7, 12sylc 56 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → ¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈))
14 ancom 253 . . . . . 6 ((𝐶 𝐿 𝐶 𝑈) ↔ (𝐶 𝑈 𝐶 𝐿))
1514notbii 581 . . . . 5 (¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 𝑈 𝐶 𝐿))
16 imnan 611 . . . . 5 ((𝐶 𝑈 → ¬ 𝐶 𝐿) ↔ ¬ (𝐶 𝑈 𝐶 𝐿))
1715, 16bitr4i 176 . . . 4 (¬ (𝐶 𝐿 𝐶 𝑈) ↔ (𝐶 𝑈 → ¬ 𝐶 𝐿))
1813, 17sylib 127 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → (𝐶 𝑈 → ¬ 𝐶 𝐿))
191, 18mpd 13 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → ¬ 𝐶 𝐿)
20 3simpa 889 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿))
21 prubl 6340 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿) 𝐶 Q) → (¬ 𝐶 𝐿B <Q 𝐶))
2220, 3, 21syl2anc 393 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → (¬ 𝐶 𝐿B <Q 𝐶))
2319, 22mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P B 𝐿 𝐶 𝑈) → B <Q 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  wss 2894  cop 3353   class class class wbr 3738  Qcnq 6138   <Q cltq 6143  Pcnp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-po 4007  df-iso 4008  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-lti 6167  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-ltnqqs 6212  df-inp 6320
This theorem is referenced by:  genpdisj  6378  prmuloc  6410  ltprordil  6428  ltpopr  6432  ltexprlemopu  6440  ltexprlemdisj  6443  ltexprlemfl  6446  ltexprlemfu  6448  ltexprlemru  6449  recexprlemdisj  6464  recexprlemss1l  6469  recexprlemss1u  6470
  Copyright terms: Public domain W3C validator