Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prime Structured version   GIF version

Theorem prime 8093
 Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)." (Contributed by NM, 4-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
prime (A ℕ → (x ℕ ((A / x) ℕ → (x = 1 x = A)) ↔ x ℕ ((1 < x xA (A / x) ℕ) → x = A)))
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 nnz 8020 . . . . . . 7 (x ℕ → x ℤ)
2 1z 8027 . . . . . . . 8 1
3 zdceq 8072 . . . . . . . 8 ((x 1 ℤ) → DECID x = 1)
42, 3mpan2 401 . . . . . . 7 (x ℤ → DECID x = 1)
5 dfordc 790 . . . . . . . 8 (DECID x = 1 → ((x = 1 x = A) ↔ (¬ x = 1 → x = A)))
6 df-ne 2203 . . . . . . . . 9 (x ≠ 1 ↔ ¬ x = 1)
76imbi1i 227 . . . . . . . 8 ((x ≠ 1 → x = A) ↔ (¬ x = 1 → x = A))
85, 7syl6bbr 187 . . . . . . 7 (DECID x = 1 → ((x = 1 x = A) ↔ (x ≠ 1 → x = A)))
91, 4, 83syl 17 . . . . . 6 (x ℕ → ((x = 1 x = A) ↔ (x ≠ 1 → x = A)))
109imbi2d 219 . . . . 5 (x ℕ → (((A / x) ℕ → (x = 1 x = A)) ↔ ((A / x) ℕ → (x ≠ 1 → x = A))))
11 impexp 250 . . . . . 6 (((x ≠ 1 (A / x) ℕ) → x = A) ↔ (x ≠ 1 → ((A / x) ℕ → x = A)))
12 bi2.04 237 . . . . . 6 ((x ≠ 1 → ((A / x) ℕ → x = A)) ↔ ((A / x) ℕ → (x ≠ 1 → x = A)))
1311, 12bitri 173 . . . . 5 (((x ≠ 1 (A / x) ℕ) → x = A) ↔ ((A / x) ℕ → (x ≠ 1 → x = A)))
1410, 13syl6bbr 187 . . . 4 (x ℕ → (((A / x) ℕ → (x = 1 x = A)) ↔ ((x ≠ 1 (A / x) ℕ) → x = A)))
1514adantl 262 . . 3 ((A x ℕ) → (((A / x) ℕ → (x = 1 x = A)) ↔ ((x ≠ 1 (A / x) ℕ) → x = A)))
16 nngt1ne1 7709 . . . . . . 7 (x ℕ → (1 < xx ≠ 1))
1716adantl 262 . . . . . 6 ((A x ℕ) → (1 < xx ≠ 1))
1817anbi1d 438 . . . . 5 ((A x ℕ) → ((1 < x (A / x) ℕ) ↔ (x ≠ 1 (A / x) ℕ)))
19 nnz 8020 . . . . . . . . 9 ((A / x) ℕ → (A / x) ℤ)
20 nnre 7682 . . . . . . . . . . . . 13 (x ℕ → x ℝ)
21 gtndiv 8091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x A A < x) → ¬ (A / x) ℤ)
22213expia 1105 . . . . . . . . . . . . 13 ((x A ℕ) → (A < x → ¬ (A / x) ℤ))
2320, 22sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((x A ℕ) → (A < x → ¬ (A / x) ℤ))
2423con2d 554 . . . . . . . . . . 11 ((x A ℕ) → ((A / x) ℤ → ¬ A < x))
25 nnre 7682 . . . . . . . . . . . 12 (A ℕ → A ℝ)
26 lenlt 6871 . . . . . . . . . . . 12 ((x A ℝ) → (xA ↔ ¬ A < x))
2720, 25, 26syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((x A ℕ) → (xA ↔ ¬ A < x))
2824, 27sylibrd 158 . . . . . . . . . 10 ((x A ℕ) → ((A / x) ℤ → xA))
2928ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((A x ℕ) → ((A / x) ℤ → xA))
3019, 29syl5 28 . . . . . . . 8 ((A x ℕ) → ((A / x) ℕ → xA))
3130pm4.71rd 374 . . . . . . 7 ((A x ℕ) → ((A / x) ℕ ↔ (xA (A / x) ℕ)))
3231anbi2d 437 . . . . . 6 ((A x ℕ) → ((1 < x (A / x) ℕ) ↔ (1 < x (xA (A / x) ℕ))))
33 3anass 888 . . . . . 6 ((1 < x xA (A / x) ℕ) ↔ (1 < x (xA (A / x) ℕ)))
3432, 33syl6bbr 187 . . . . 5 ((A x ℕ) → ((1 < x (A / x) ℕ) ↔ (1 < x xA (A / x) ℕ)))
3518, 34bitr3d 179 . . . 4 ((A x ℕ) → ((x ≠ 1 (A / x) ℕ) ↔ (1 < x xA (A / x) ℕ)))
3635imbi1d 220 . . 3 ((A x ℕ) → (((x ≠ 1 (A / x) ℕ) → x = A) ↔ ((1 < x xA (A / x) ℕ) → x = A)))
3715, 36bitrd 177 . 2 ((A x ℕ) → (((A / x) ℕ → (x = 1 x = A)) ↔ ((1 < x xA (A / x) ℕ) → x = A)))
3837ralbidva 2316 1 (A ℕ → (x ℕ ((A / x) ℕ → (x = 1 x = A)) ↔ x ℕ ((1 < x xA (A / x) ℕ) → x = A)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  DECID wdc 741   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  ∀wral 2300   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  1c1 6692   < clt 6837   ≤ cle 6838   / cdiv 7413  ℕcn 7675  ℤcz 8001 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator