ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemn Structured version   GIF version

Theorem prarloclemn 6482
Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemn ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
Distinct variable group:   x,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → 𝑁 N)
2 1pi 6299 . . . . 5 1𝑜 N
3 ltpiord 6303 . . . . 5 ((1𝑜 N 𝑁 N) → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜 𝑁))
42, 3mpan 400 . . . 4 (𝑁 N → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜 𝑁))
54biimpa 280 . . 3 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → 1𝑜 𝑁)
6 piord 6295 . . . 4 (𝑁 N → Ord 𝑁)
7 ordsucss 4196 . . . 4 (Ord 𝑁 → (1𝑜 𝑁 → suc 1𝑜𝑁))
86, 7syl 14 . . 3 (𝑁 N → (1𝑜 𝑁 → suc 1𝑜𝑁))
91, 5, 8sylc 56 . 2 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → suc 1𝑜𝑁)
10 df-2o 5941 . . . 4 2𝑜 = suc 1𝑜
1110sseq1i 2963 . . 3 (2𝑜𝑁 ↔ suc 1𝑜𝑁)
12 pinn 6293 . . . . 5 (𝑁 N𝑁 𝜔)
13 2onn 6030 . . . . . 6 2𝑜 𝜔
14 nnawordex 6037 . . . . . 6 ((2𝑜 𝜔 𝑁 𝜔) → (2𝑜𝑁x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁))
1513, 14mpan 400 . . . . 5 (𝑁 𝜔 → (2𝑜𝑁x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁))
1612, 15syl 14 . . . 4 (𝑁 N → (2𝑜𝑁x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁))
1716adantr 261 . . 3 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → (2𝑜𝑁x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁))
1811, 17syl5bbr 183 . 2 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → (suc 1𝑜𝑁x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁))
199, 18mpbid 135 1 ((𝑁 N 1𝑜 <N 𝑁) → x 𝜔 (2𝑜 +𝑜 x) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  wss 2911   class class class wbr 3755  Ord word 4065  suc csuc 4068  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937  Ncnpi 6256   <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-ni 6288  df-lti 6291
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6483
  Copyright terms: Public domain W3C validator