Theorem prarloclemn 6597

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 6601. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 6413	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3		ltpiord 6417	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜 ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 400	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜 ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 280	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 1𝑜 ∈ 𝑁)
6		piord 6409	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4230	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1𝑜 ∈ 𝑁 → suc 1𝑜 ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1𝑜 ∈ 𝑁 → suc 1𝑜 ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 56	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → suc 1𝑜 ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6002	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
11	10	sseq1i 2969	. . 3 ⊢ (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ suc 1𝑜 ⊆ 𝑁)
12		pinn 6407	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6094	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
14		nnawordex 6101	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 400	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 261	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	syl5bbr 183	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (suc 1𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  Ord word 4099  suc csuc 4102  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  2_𝑜c2o 5995   +_𝑜 coa 5998  Ncnpi 6370   <_N clti 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-ni 6402  df-lti 6405

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6598