Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem4 Structured version   GIF version

Theorem prarloclem4 6480
 Description: A slight rearrangement of prarloclem3 6479. Lemma for prarloc 6485. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) 𝑃 Q) → (x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
Distinct variable groups:   A,𝑗,x,y   𝑗,𝐿,x,y   𝑃,𝑗,x,y   𝑈,𝑗,x,y

Proof of Theorem prarloclem4
StepHypRef Expression
1 prarloclem3 6479 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (x 𝜔 𝑃 Q) y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
213expia 1105 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (x 𝜔 𝑃 Q)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
32ancom2s 500 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑃 Q x 𝜔)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
43anassrs 380 . 2 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) 𝑃 Q) x 𝜔) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
54rexlimdva 2427 1 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) 𝑃 Q) → (x 𝜔 y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ⟨cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937  [cec 6040   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274  Pcnp 6275 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448 This theorem is referenced by:  prarloclem  6483
 Copyright terms: Public domain W3C validator