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Theorem prarloclem3 6479
Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6485. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q) y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
Distinct variable groups:   A,𝑗,y   𝑗,𝐿,y   𝑃,𝑗,y   𝑈,𝑗,y   y,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3
Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 483 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q)) → 𝑋 𝜔)
2 simpll 481 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q)) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
3 simplr 482 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q)) → A 𝐿)
4 simprr 484 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q)) → 𝑃 Q)
5 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = 𝑋 → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
65opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . 13 (x = 𝑋 → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
76eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . 12 (x = 𝑋 → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
87oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (x = 𝑋 → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
98oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (x = 𝑋 → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
109eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (x = 𝑋 → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
1110anbi2d 437 . . . . . . . 8 (x = 𝑋 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
1211rexbidv 2321 . . . . . . 7 (x = 𝑋 → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
1312imbi1d 220 . . . . . 6 (x = 𝑋 → ((y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) ↔ (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
1413imbi2d 219 . . . . 5 (x = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))))
15 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = ∅ → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅))
1615opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . 13 (x = ∅ → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩)
1716eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . 12 (x = ∅ → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q )
1817oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (x = ∅ → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
1918oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (x = ∅ → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2019eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (x = ∅ → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
2120anbi2d 437 . . . . . . . 8 (x = ∅ → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
2221rexbidv 2321 . . . . . . 7 (x = ∅ → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
2322imbi1d 220 . . . . . 6 (x = ∅ → ((y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) ↔ (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
24 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = z → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z))
2524opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . 13 (x = z → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩)
2625eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . 12 (x = z → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q )
2726oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (x = z → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
2827oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (x = z → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
2928eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (x = z → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
3029anbi2d 437 . . . . . . . 8 (x = z → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
3130rexbidv 2321 . . . . . . 7 (x = z → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
3231imbi1d 220 . . . . . 6 (x = z → ((y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) ↔ (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
33 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = suc z → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z))
3433opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . 13 (x = suc z → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩)
3534eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . 12 (x = suc z → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q )
3635oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 (x = suc z → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3736oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 (x = suc z → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3837eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (x = suc z → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
3938anbi2d 437 . . . . . . . 8 (x = suc z → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
4039rexbidv 2321 . . . . . . 7 (x = suc z → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
4140imbi1d 220 . . . . . 6 (x = suc z → ((y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) ↔ (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
42 2onn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2𝑜 𝜔
43 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y 𝜔 2𝑜 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
44 nna0 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y +𝑜 2𝑜) 𝜔 → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (y +𝑜 2𝑜))
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((y 𝜔 2𝑜 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (y +𝑜 2𝑜))
4642, 45mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y 𝜔 → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (y +𝑜 2𝑜))
4746opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y 𝜔 → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩ = ⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
4847eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14 (y 𝜔 → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
4948oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (y 𝜔 → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
5049oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (y 𝜔 → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
5150eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
5251anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (y 𝜔 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
5352rexbiia 2333 . . . . . . . . 9 (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
54 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = 𝑗 → ⟨y, 1𝑜⟩ = ⟨𝑗, 1𝑜⟩)
5554eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = 𝑗 → [⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 )
5655oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (y = 𝑗 → ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
5756oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (y = 𝑗 → (A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
5857eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (y = 𝑗 → ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿))
59 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y = 𝑗 → (y +𝑜 2𝑜) = (𝑗 +𝑜 2𝑜))
6059opeq1d 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y = 𝑗 → ⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ = ⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
6160eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = 𝑗 → [⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
6261oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (y = 𝑗 → ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
6362oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 (y = 𝑗 → (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6463eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (y = 𝑗 → ((A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
6558, 64anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (y = 𝑗 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
6665cbvrexv 2528 . . . . . . . . 9 (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
6753, 66bitri 173 . . . . . . . 8 (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) ↔ 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
6867biimpi 113 . . . . . . 7 (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
6968a1i 9 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
70 prarloclem3step 6478 . . . . . . . . 9 (((z 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
7170ex 108 . . . . . . . 8 ((z 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
7271imim1d 69 . . . . . . 7 ((z 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) → ((y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
7372ex 108 . . . . . 6 (z 𝜔 → ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q) → ((y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))))
7423, 32, 41, 69, 73finds2 4267 . . . . 5 (x 𝜔 → ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
7514, 74vtoclga 2613 . . . 4 (𝑋 𝜔 → ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))))
7675imp 115 . . 3 ((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
771, 2, 3, 4, 76syl13anc 1136 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q)) → (y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)))
78773impia 1100 1 (((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) (𝑋 𝜔 𝑃 Q) y 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈)) → 𝑗 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) 𝐿 (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  c0 3218  cop 3370  suc csuc 4068  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937  [cec 6040   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  prarloclem4  6480
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