Theorem prarloclem3 6480

Description: Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   A,𝑗,y   𝑗,𝐿,y   𝑃,𝑗,y   𝑈,𝑗,y   y,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem prarloclem3

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 483	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑋 ∈ 𝜔)
2		simpll 481	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
3		simplr 482	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → A ∈ 𝐿)
4		simprr 484	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → 𝑃 ∈ Q)
5		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = 𝑋 → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6	5	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = 𝑋 → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
7	6	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = 𝑋 → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
8	7	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = 𝑋 → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
9	8	oveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 𝑋 → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
10	9	eleq1d 2103	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 𝑋 → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 𝑋 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
12	11	rexbidv 2321	. . . . . . 7 ⊢ (x = 𝑋 → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
13	12	imbi1d 220	. . . . . 6 ⊢ (x = 𝑋 → ((∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
14	13	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (x = 𝑋 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
15		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = ∅ → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅))
16	15	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = ∅ → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩)
17	16	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = ∅ → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q )
18	17	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ∅ → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
19	18	oveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ∅ → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
20	19	eleq1d 2103	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ∅ → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
21	20	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∅ → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
22	21	rexbidv 2321	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
23	22	imbi1d 220	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → ((∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
24		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = z → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z))
25	24	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = z → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩)
26	25	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = z → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q )
27	26	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = z → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
28	27	oveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
29	28	eleq1d 2103	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30	29	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
31	30	rexbidv 2321	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
32	31	imbi1d 220	. . . . . 6 ⊢ (x = z → ((∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
33		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = suc z → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z))
34	33	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = suc z → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩ = ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩)
35	34	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = suc z → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q )
36	35	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = suc z → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
37	36	oveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = suc z → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
38	37	eleq1d 2103	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = suc z → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
39	38	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (x = suc z → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
40	39	rexbidv 2321	. . . . . . 7 ⊢ (x = suc z → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
41	40	imbi1d 220	. . . . . 6 ⊢ (x = suc z → ((∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) ↔ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
42		2onn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2𝑜 ∈ 𝜔
43		nnacl 5998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ 2𝑜 ∈ 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) ∈ 𝜔)
44		nna0 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y +𝑜 2𝑜) ∈ 𝜔 → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (y +𝑜 2𝑜))
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ 2𝑜 ∈ 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (y +𝑜 2𝑜))
46	42, 45	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅) = (y +𝑜 2𝑜))
47	46	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩ = ⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
48	47	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ 𝜔 → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
49	48	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
50	49	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
51	50	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
52	51	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
53	52	rexbiia 2333	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
54		opeq1 3540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = 𝑗 → ⟨y, 1𝑜⟩ = ⟨𝑗, 1𝑜⟩)
55	54	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = 𝑗 → [⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 )
56	55	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = 𝑗 → ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
57	56	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = 𝑗 → (A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
58	57	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = 𝑗 → ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
59		oveq1 5462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = 𝑗 → (y +𝑜 2𝑜) = (𝑗 +𝑜 2𝑜))
60	59	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = 𝑗 → ⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ = ⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩)
61	60	eceq1d 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = 𝑗 → [⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
62	61	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = 𝑗 → ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
63	62	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = 𝑗 → (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
64	63	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = 𝑗 → ((A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
65	58, 64	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = 𝑗 → (((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
66	65	cbvrexv 2528	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(y +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
67	53, 66	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
68	67	biimpi 113	. . . . . . 7 ⊢ (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
69	68	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 ∅), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
70		prarloclem3step 6479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
71	70	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
72	71	imim1d 69	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → ((∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
73	72	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ 𝜔 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc z), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))))
74	23, 32, 41, 69, 73	finds2 4267	. . . . 5 ⊢ (x ∈ 𝜔 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 x), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
75	14, 74	vtoclga 2613	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝜔 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
76	75	imp 115	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝜔 ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
77	1, 2, 3, 4, 76	syl13anc 1136	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
78	77	3impia 1100	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A ∈ 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝜔 ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃y ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨y, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑗 ∈ 𝜔 ((A +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (A +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ∅c0 3218  ⟨cop 3370  suc csuc 4068  𝜔com 4256  (class class class)co 5455  1_𝑜c1o 5933  2_𝑜c2o 5934   +_𝑜 coa 5937  [cec 6040   ~_Q ceq 6263  Qcnq 6264   +_Q cplq 6266   ·_Q cmq 6267   ~_Q0 ceq0 6270   +_Q0 cplq0 6273   ·_Q0 cmq0 6274  Pcnp 6275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449

This theorem is referenced by:  prarloclem4  6481