Theorem posng 4412

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Proof of Theorem posng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4033	. 2 ⊢ (𝑅 Po {𝐴} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
2		breq2 3768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝐴))
3	2	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴)))
4		breq2 3768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
5	3, 4	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥) ↔ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)))
6	5	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
7	6	ralsng 3411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
8	7	ralbidv 2326	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
9		simpl 102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝑦)
10		breq2 3768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
11	9, 10	syl5ib 143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))
12	11	biantrud 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
13	12	bicomd 129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
14	13	ralsng 3411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
15	8, 14	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
16	15	ralbidv 2326	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧))
17		breq12 3769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
18	17	anidms 377	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
19	18	notbid 592	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
20	19	ralsng 3411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
21	16, 20	bitrd 177	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
22	21	adantl 262	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
23	1, 22	syl5bb 181	1 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  Vcvv 2557  {csn 3375   class class class wbr 3764   Po wpo 4031  Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-po 4033

This theorem is referenced by:  sosng  4413