ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  posng GIF version

Theorem posng 4355
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
posng ((Rel 𝑅 A V) → (𝑅 Po {A} ↔ ¬ A𝑅A))

Proof of Theorem posng
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4024 . 2 (𝑅 Po {A} ↔ z {A}y {A}x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)))
2 breq2 3759 . . . . . . . . . . 11 (x = A → (y𝑅xy𝑅A))
32anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x = A → ((z𝑅y y𝑅x) ↔ (z𝑅y y𝑅A)))
4 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (x = A → (z𝑅xz𝑅A))
53, 4imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (x = A → (((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x) ↔ ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A)))
65anbi2d 437 . . . . . . . 8 (x = A → ((¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A))))
76ralsng 3402 . . . . . . 7 (A V → (x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A))))
87ralbidv 2320 . . . . . 6 (A V → (y {A}x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ y {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A))))
9 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅y)
10 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (y = A → (z𝑅yz𝑅A))
119, 10syl5ib 143 . . . . . . . . 9 (y = A → ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A))
1211biantrud 288 . . . . . . . 8 (y = A → (¬ z𝑅z ↔ (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A))))
1312bicomd 129 . . . . . . 7 (y = A → ((¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A)) ↔ ¬ z𝑅z))
1413ralsng 3402 . . . . . 6 (A V → (y {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅A) → z𝑅A)) ↔ ¬ z𝑅z))
158, 14bitrd 177 . . . . 5 (A V → (y {A}x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ¬ z𝑅z))
1615ralbidv 2320 . . . 4 (A V → (z {A}y {A}x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ z {A} ¬ z𝑅z))
17 breq12 3760 . . . . . . 7 ((z = A z = A) → (z𝑅zA𝑅A))
1817anidms 377 . . . . . 6 (z = A → (z𝑅zA𝑅A))
1918notbid 591 . . . . 5 (z = A → (¬ z𝑅z ↔ ¬ A𝑅A))
2019ralsng 3402 . . . 4 (A V → (z {A} ¬ z𝑅z ↔ ¬ A𝑅A))
2116, 20bitrd 177 . . 3 (A V → (z {A}y {A}x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ¬ A𝑅A))
2221adantl 262 . 2 ((Rel 𝑅 A V) → (z {A}y {A}x {A} (¬ z𝑅z ((z𝑅y y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ¬ A𝑅A))
231, 22syl5bb 181 1 ((Rel 𝑅 A V) → (𝑅 Po {A} ↔ ¬ A𝑅A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  Vcvv 2551  {csn 3367   class class class wbr 3755   Po wpo 4022  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-po 4024
This theorem is referenced by:  sosng  4356
  Copyright terms: Public domain W3C validator