Theorem posng 4355

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	⊢ ((Rel 𝑅 ∧ A ∈ V) → (𝑅 Po {A} ↔ ¬ A𝑅A))

Proof of Theorem posng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4024	. 2 ⊢ (𝑅 Po {A} ↔ ∀z ∈ {A}∀y ∈ {A}∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)))
2		breq2 3759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = A → (y𝑅x ↔ y𝑅A))
3	2	anbi2d 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = A → ((z𝑅y ∧ y𝑅x) ↔ (z𝑅y ∧ y𝑅A)))
4		breq2 3759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = A → (z𝑅x ↔ z𝑅A))
5	3, 4	imbi12d 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = A → (((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x) ↔ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A)))
6	5	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → ((¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A))))
7	6	ralsng 3402	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → (∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A))))
8	7	ralbidv 2320	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → (∀y ∈ {A}∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ∀y ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A))))
9		simpl 102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅y)
10		breq2 3759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = A → (z𝑅y ↔ z𝑅A))
11	9, 10	syl5ib 143	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = A → ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A))
12	11	biantrud 288	. . . . . . . 8 ⊢ (y = A → (¬ z𝑅z ↔ (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A))))
13	12	bicomd 129	. . . . . . 7 ⊢ (y = A → ((¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A)) ↔ ¬ z𝑅z))
14	13	ralsng 3402	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → (∀y ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅A) → z𝑅A)) ↔ ¬ z𝑅z))
15	8, 14	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → (∀y ∈ {A}∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ¬ z𝑅z))
16	15	ralbidv 2320	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (∀z ∈ {A}∀y ∈ {A}∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ∀z ∈ {A} ¬ z𝑅z))
17		breq12 3760	. . . . . . 7 ⊢ ((z = A ∧ z = A) → (z𝑅z ↔ A𝑅A))
18	17	anidms 377	. . . . . 6 ⊢ (z = A → (z𝑅z ↔ A𝑅A))
19	18	notbid 591	. . . . 5 ⊢ (z = A → (¬ z𝑅z ↔ ¬ A𝑅A))
20	19	ralsng 3402	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (∀z ∈ {A} ¬ z𝑅z ↔ ¬ A𝑅A))
21	16, 20	bitrd 177	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (∀z ∈ {A}∀y ∈ {A}∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ¬ A𝑅A))
22	21	adantl 262	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ A ∈ V) → (∀z ∈ {A}∀y ∈ {A}∀x ∈ {A} (¬ z𝑅z ∧ ((z𝑅y ∧ y𝑅x) → z𝑅x)) ↔ ¬ A𝑅A))
23	1, 22	syl5bb 181	1 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ A ∈ V) → (𝑅 Po {A} ↔ ¬ A𝑅A))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  Vcvv 2551  {csn 3367   class class class wbr 3755   Po wpo 4022  Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-po 4024

This theorem is referenced by:  sosng  4356