Theorem po2nr 4037

Description: A partial order relation has no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
po2nr	⊢ ((𝑅 Po A ∧ (B ∈ A ∧ 𝐶 ∈ A)) → ¬ (B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B))

Proof of Theorem po2nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poirr 4035	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po A ∧ B ∈ A) → ¬ B𝑅B)
2	1	adantrr 448	. 2 ⊢ ((𝑅 Po A ∧ (B ∈ A ∧ 𝐶 ∈ A)) → ¬ B𝑅B)
3		potr 4036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Po A ∧ (B ∈ A ∧ 𝐶 ∈ A ∧ B ∈ A)) → ((B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B) → B𝑅B))
4	3	3exp2 1121	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po A → (B ∈ A → (𝐶 ∈ A → (B ∈ A → ((B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B) → B𝑅B)))))
5	4	com34 77	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po A → (B ∈ A → (B ∈ A → (𝐶 ∈ A → ((B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B) → B𝑅B)))))
6	5	pm2.43d 44	. . 3 ⊢ (𝑅 Po A → (B ∈ A → (𝐶 ∈ A → ((B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B) → B𝑅B))))
7	6	imp32 244	. 2 ⊢ ((𝑅 Po A ∧ (B ∈ A ∧ 𝐶 ∈ A)) → ((B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B) → B𝑅B))
8	2, 7	mtod 588	1 ⊢ ((𝑅 Po A ∧ (B ∈ A ∧ 𝐶 ∈ A)) → ¬ (B𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅B))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755   Po wpo 4022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-po 4024

This theorem is referenced by:  po3nr  4038  so2nr  4049