Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  plpvlu Structured version   GIF version

Theorem plpvlu 6514
 Description: Value of addition on positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
plpvlu ((A P B P) → (A +P B) = ⟨{x Qy (1stA)z (1stB)x = (y +Q z)}, {x Qy (2ndA)z (2ndB)x = (y +Q z)}⟩)
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem plpvlu
Dummy variables f g w v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iplp 6443 . 2 +P = (w P, v P ↦ ⟨{f Qg Q Q (g (1stw) (1stv) f = (g +Q ))}, {f Qg Q Q (g (2ndw) (2ndv) f = (g +Q ))}⟩)
2 addclnq 6352 . 2 ((g Q Q) → (g +Q ) Q)
31, 2genipv 6484 1 ((A P B P) → (A +P B) = ⟨{x Qy (1stA)z (1stB)x = (y +Q z)}, {x Qy (2ndA)z (2ndB)x = (y +Q z)}⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  {crab 2304  ⟨cop 3369  ‘cfv 4844  (class class class)co 5452  1st c1st 5704  2nd c2nd 5705  Qcnq 6257   +Q cplq 6259  Pcnp 6268   +P cpp 6270 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-plpq 6321  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-inp 6441  df-iplp 6443 This theorem is referenced by:  addcomprg  6544
 Copyright terms: Public domain W3C validator