ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm GIF version

Theorem phpelm 6328
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2 nnon 4332 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3 onelss 4124 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
42, 3syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
54imp 115 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 simpr 103 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7 elirr 4266 . . . . 5 ¬ 𝐵𝐵
87a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐵)
96, 8eldifd 2928 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐵))
10 eleq1 2100 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐵)))
1110spcegv 2641 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
126, 9, 11sylc 56 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
13 phpm 6327 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝐴𝐵)
141, 5, 12, 13syl3anc 1135 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wex 1381  wcel 1393  cdif 2914  wss 2917   class class class wbr 3764  Oncon0 4100  ωcom 4313  cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-er 6106  df-en 6222  df-dom 6223
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator