Theorem phpelm 6328

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		nnon 4332	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3		onelss 4124	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	4	imp 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		simpr 103	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
7		elirr 4266	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
9	6, 8	eldifd 2928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
10		eleq1 2100	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
11	10	spcegv 2641	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
12	6, 9, 11	sylc 56	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13		phpm 6327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393   ∖ cdif 2914   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  Oncon0 4100  ωcom 4313   ≈ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-er 6106  df-en 6222  df-dom 6223

This theorem is referenced by: (None)