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Theorem ovmpt2dxf 5549
Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2dx.1 (φ𝐹 = (x 𝐶, y 𝐷𝑅))
ovmpt2dx.2 ((φ (x = A y = B)) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpt2dx.3 ((φ x = A) → 𝐷 = 𝐿)
ovmpt2dx.4 (φA 𝐶)
ovmpt2dx.5 (φB 𝐿)
ovmpt2dx.6 (φ𝑆 𝑋)
ovmpt2dxf.px xφ
ovmpt2dxf.py yφ
ovmpt2dxf.ay yA
ovmpt2dxf.bx xB
ovmpt2dxf.sx x𝑆
ovmpt2dxf.sy y𝑆
Assertion
Ref Expression
ovmpt2dxf (φ → (A𝐹B) = 𝑆)
Distinct variable groups:   x,y   x,A   y,B
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   A(y)   B(x)   𝐶(x,y)   𝐷(x,y)   𝑅(x,y)   𝑆(x,y)   𝐹(x,y)   𝐿(x,y)   𝑋(x,y)

Proof of Theorem ovmpt2dxf
StepHypRef Expression
1 ovmpt2dx.1 . . 3 (φ𝐹 = (x 𝐶, y 𝐷𝑅))
21oveqd 5453 . 2 (φ → (A𝐹B) = (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B))
3 ovmpt2dx.4 . . . 4 (φA 𝐶)
4 ovmpt2dxf.px . . . . 5 xφ
5 ovmpt2dx.5 . . . . . 6 (φB 𝐿)
6 ovmpt2dxf.py . . . . . . 7 yφ
7 eqid 2022 . . . . . . . . 9 (x 𝐶, y 𝐷𝑅) = (x 𝐶, y 𝐷𝑅)
87ovmpt4g 5546 . . . . . . . 8 ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅)
98a1i 9 . . . . . . 7 (φ → ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
106, 9alrimi 1396 . . . . . 6 (φy((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
115, 10spsbcd 2753 . . . . 5 (φ[B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
124, 11alrimi 1396 . . . 4 (φx[B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
133, 12spsbcd 2753 . . 3 (φ[A / x][B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
145adantr 261 . . . . 5 ((φ x = A) → B 𝐿)
15 simplr 470 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → x = A)
163ad2antrr 460 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → A 𝐶)
1715, 16eqeltrd 2096 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → x 𝐶)
185ad2antrr 460 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → B 𝐿)
19 simpr 103 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → y = B)
20 ovmpt2dx.3 . . . . . . . . 9 ((φ x = A) → 𝐷 = 𝐿)
2120adantr 261 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → 𝐷 = 𝐿)
2218, 19, 213eltr4d 2103 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → y 𝐷)
23 ovmpt2dx.2 . . . . . . . . 9 ((φ (x = A y = B)) → 𝑅 = 𝑆)
2423anassrs 382 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → 𝑅 = 𝑆)
25 ovmpt2dx.6 . . . . . . . . . 10 (φ𝑆 𝑋)
26 elex 2543 . . . . . . . . . 10 (𝑆 𝑋𝑆 V)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (φ𝑆 V)
2827ad2antrr 460 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → 𝑆 V)
2924, 28eqeltrd 2096 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → 𝑅 V)
30 biimt 230 . . . . . . 7 ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → ((x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅 ↔ ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅)))
3117, 22, 29, 30syl3anc 1121 . . . . . 6 (((φ x = A) y = B) → ((x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅 ↔ ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅)))
3215, 19oveq12d 5454 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B))
3332, 24eqeq12d 2036 . . . . . 6 (((φ x = A) y = B) → ((x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅 ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
3431, 33bitr3d 179 . . . . 5 (((φ x = A) y = B) → (((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅) ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
35 ovmpt2dxf.ay . . . . . . 7 yA
3635nfeq2 2171 . . . . . 6 y x = A
376, 36nfan 1439 . . . . 5 y(φ x = A)
38 nfmpt22 5495 . . . . . . . 8 y(x 𝐶, y 𝐷𝑅)
39 nfcv 2160 . . . . . . . 8 yB
4035, 38, 39nfov 5459 . . . . . . 7 y(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B)
41 ovmpt2dxf.sy . . . . . . 7 y𝑆
4240, 41nfeq 2167 . . . . . 6 y(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆
4342a1i 9 . . . . 5 ((φ x = A) → Ⅎy(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆)
4414, 34, 37, 43sbciedf 2775 . . . 4 ((φ x = A) → ([B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅) ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
45 nfcv 2160 . . . . . . 7 xA
46 nfmpt21 5494 . . . . . . 7 x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)
47 ovmpt2dxf.bx . . . . . . 7 xB
4845, 46, 47nfov 5459 . . . . . 6 x(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B)
49 ovmpt2dxf.sx . . . . . 6 x𝑆
5048, 49nfeq 2167 . . . . 5 x(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆
5150a1i 9 . . . 4 (φ → Ⅎx(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆)
523, 44, 4, 51sbciedf 2775 . . 3 (φ → ([A / x][B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅) ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
5313, 52mpbid 135 . 2 (φ → (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆)
542, 53eqtrd 2054 1 (φ → (A𝐹B) = 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873   = wceq 1228  wnf 1329   wcel 1374  wnfc 2147  Vcvv 2535  [wsbc 2741  (class class class)co 5436  cmpt2 5438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-setind 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441
This theorem is referenced by:  ovmpt2dx  5550  mpt2xopoveq  5777
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