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Theorem ovmpt2dxf 5565
 Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2dx.1 (φ𝐹 = (x 𝐶, y 𝐷𝑅))
ovmpt2dx.2 ((φ (x = A y = B)) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpt2dx.3 ((φ x = A) → 𝐷 = 𝐿)
ovmpt2dx.4 (φA 𝐶)
ovmpt2dx.5 (φB 𝐿)
ovmpt2dx.6 (φ𝑆 𝑋)
ovmpt2dxf.px xφ
ovmpt2dxf.py yφ
ovmpt2dxf.ay yA
ovmpt2dxf.bx xB
ovmpt2dxf.sx x𝑆
ovmpt2dxf.sy y𝑆
Assertion
Ref Expression
ovmpt2dxf (φ → (A𝐹B) = 𝑆)
Distinct variable groups:   x,y   x,A   y,B
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   A(y)   B(x)   𝐶(x,y)   𝐷(x,y)   𝑅(x,y)   𝑆(x,y)   𝐹(x,y)   𝐿(x,y)   𝑋(x,y)

Proof of Theorem ovmpt2dxf
StepHypRef Expression
1 ovmpt2dx.1 . . 3 (φ𝐹 = (x 𝐶, y 𝐷𝑅))
21oveqd 5469 . 2 (φ → (A𝐹B) = (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B))
3 ovmpt2dx.4 . . . 4 (φA 𝐶)
4 ovmpt2dxf.px . . . . 5 xφ
5 ovmpt2dx.5 . . . . . 6 (φB 𝐿)
6 ovmpt2dxf.py . . . . . . 7 yφ
7 eqid 2037 . . . . . . . . 9 (x 𝐶, y 𝐷𝑅) = (x 𝐶, y 𝐷𝑅)
87ovmpt4g 5562 . . . . . . . 8 ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅)
98a1i 9 . . . . . . 7 (φ → ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
106, 9alrimi 1412 . . . . . 6 (φy((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
115, 10spsbcd 2770 . . . . 5 (φ[B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
124, 11alrimi 1412 . . . 4 (φx[B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
133, 12spsbcd 2770 . . 3 (φ[A / x][B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅))
145adantr 261 . . . . 5 ((φ x = A) → B 𝐿)
15 simplr 482 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → x = A)
163ad2antrr 457 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → A 𝐶)
1715, 16eqeltrd 2111 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → x 𝐶)
185ad2antrr 457 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → B 𝐿)
19 simpr 103 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → y = B)
20 ovmpt2dx.3 . . . . . . . . 9 ((φ x = A) → 𝐷 = 𝐿)
2120adantr 261 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → 𝐷 = 𝐿)
2218, 19, 213eltr4d 2118 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → y 𝐷)
23 ovmpt2dx.2 . . . . . . . . 9 ((φ (x = A y = B)) → 𝑅 = 𝑆)
2423anassrs 380 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → 𝑅 = 𝑆)
25 ovmpt2dx.6 . . . . . . . . . 10 (φ𝑆 𝑋)
26 elex 2560 . . . . . . . . . 10 (𝑆 𝑋𝑆 V)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (φ𝑆 V)
2827ad2antrr 457 . . . . . . . 8 (((φ x = A) y = B) → 𝑆 V)
2924, 28eqeltrd 2111 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → 𝑅 V)
30 biimt 230 . . . . . . 7 ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → ((x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅 ↔ ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅)))
3117, 22, 29, 30syl3anc 1134 . . . . . 6 (((φ x = A) y = B) → ((x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅 ↔ ((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅)))
3215, 19oveq12d 5470 . . . . . . 7 (((φ x = A) y = B) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B))
3332, 24eqeq12d 2051 . . . . . 6 (((φ x = A) y = B) → ((x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅 ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
3431, 33bitr3d 179 . . . . 5 (((φ x = A) y = B) → (((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅) ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
35 ovmpt2dxf.ay . . . . . . 7 yA
3635nfeq2 2186 . . . . . 6 y x = A
376, 36nfan 1454 . . . . 5 y(φ x = A)
38 nfmpt22 5511 . . . . . . . 8 y(x 𝐶, y 𝐷𝑅)
39 nfcv 2175 . . . . . . . 8 yB
4035, 38, 39nfov 5475 . . . . . . 7 y(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B)
41 ovmpt2dxf.sy . . . . . . 7 y𝑆
4240, 41nfeq 2182 . . . . . 6 y(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆
4342a1i 9 . . . . 5 ((φ x = A) → Ⅎy(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆)
4414, 34, 37, 43sbciedf 2792 . . . 4 ((φ x = A) → ([B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅) ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
45 nfcv 2175 . . . . . . 7 xA
46 nfmpt21 5510 . . . . . . 7 x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)
47 ovmpt2dxf.bx . . . . . . 7 xB
4845, 46, 47nfov 5475 . . . . . 6 x(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B)
49 ovmpt2dxf.sx . . . . . 6 x𝑆
5048, 49nfeq 2182 . . . . 5 x(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆
5150a1i 9 . . . 4 (φ → Ⅎx(A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆)
523, 44, 4, 51sbciedf 2792 . . 3 (φ → ([A / x][B / y]((x 𝐶 y 𝐷 𝑅 V) → (x(x 𝐶, y 𝐷𝑅)y) = 𝑅) ↔ (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆))
5313, 52mpbid 135 . 2 (φ → (A(x 𝐶, y 𝐷𝑅)B) = 𝑆)
542, 53eqtrd 2069 1 (φ → (A𝐹B) = 𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242  Ⅎwnf 1346   ∈ wcel 1390  Ⅎwnfc 2162  Vcvv 2551  [wsbc 2758  (class class class)co 5452   ↦ cmpt2 5454 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-setind 4219 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457 This theorem is referenced by:  ovmpt2dx  5566  mpt2xopoveq  5793
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