ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ottposg Structured version   GIF version

Theorem ottposg 5780
Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ottposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨B, A, 𝐶 𝐹))

Proof of Theorem ottposg
StepHypRef Expression
1 brtposg 5779 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
2 df-br 3728 . . 3 (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹)
3 df-br 3728 . . 3 (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹)
41, 2, 33bitr3g 211 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹))
5 df-ot 3349 . . 3 A, B, 𝐶⟩ = ⟨⟨A, B⟩, 𝐶
65eleq1i 2076 . 2 (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹)
7 df-ot 3349 . . 3 B, A, 𝐶⟩ = ⟨⟨B, A⟩, 𝐶
87eleq1i 2076 . 2 (⟨B, A, 𝐶 𝐹 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹)
94, 6, 83bitr4g 212 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨B, A, 𝐶 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 867   wcel 1366  cop 3342  cotp 3343   class class class wbr 3727  tpos ctpos 5769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-ot 3349  df-uni 3544  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-id 3993  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-fv 4825  df-tpos 5770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator