ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ottposg Structured version   GIF version

Theorem ottposg 5789
Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ottposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨B, A, 𝐶 𝐹))

Proof of Theorem ottposg
StepHypRef Expression
1 brtposg 5788 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
2 df-br 3738 . . 3 (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹)
3 df-br 3738 . . 3 (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹)
41, 2, 33bitr3g 211 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹))
5 df-ot 3359 . . 3 A, B, 𝐶⟩ = ⟨⟨A, B⟩, 𝐶
65eleq1i 2086 . 2 (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹)
7 df-ot 3359 . . 3 B, A, 𝐶⟩ = ⟨⟨B, A⟩, 𝐶
87eleq1i 2086 . 2 (⟨B, A, 𝐶 𝐹 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹)
94, 6, 83bitr4g 212 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨B, A, 𝐶 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 873   wcel 1375  cop 3352  cotp 3353   class class class wbr 3737  tpos ctpos 5778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-sep 3848  ax-pow 3900  ax-pr 3917  ax-un 4118
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1629  df-eu 1886  df-mo 1887  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-ral 2288  df-rex 2289  df-rab 2292  df-v 2536  df-sbc 2741  df-un 2898  df-in 2900  df-ss 2907  df-pw 3335  df-sn 3355  df-pr 3356  df-op 3358  df-ot 3359  df-uni 3554  df-br 3738  df-opab 3792  df-mpt 3793  df-id 4003  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-iota 4792  df-fun 4829  df-fn 4830  df-fv 4835  df-tpos 5779
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator