ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ottposg Structured version   GIF version

Theorem ottposg 5790
Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ottposg ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨B, A, 𝐶 𝐹))

Proof of Theorem ottposg
StepHypRef Expression
1 brtposg 5789 . . 3 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨B, A𝐹𝐶))
2 df-br 3737 . . 3 (⟨A, B⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹)
3 df-br 3737 . . 3 (⟨B, A𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹)
41, 2, 33bitr3g 211 . 2 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹))
5 df-ot 3358 . . 3 A, B, 𝐶⟩ = ⟨⟨A, B⟩, 𝐶
65eleq1i 2085 . 2 (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨A, B⟩, 𝐶 tpos 𝐹)
7 df-ot 3358 . . 3 B, A, 𝐶⟩ = ⟨⟨B, A⟩, 𝐶
87eleq1i 2085 . 2 (⟨B, A, 𝐶 𝐹 ↔ ⟨⟨B, A⟩, 𝐶 𝐹)
94, 6, 83bitr4g 212 1 ((A 𝑉 B 𝑊 𝐶 𝑋) → (⟨A, B, 𝐶 tpos 𝐹 ↔ ⟨B, A, 𝐶 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 873   wcel 1374  cop 3351  cotp 3352   class class class wbr 3736  tpos ctpos 5779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3847  ax-pow 3899  ax-pr 3916  ax-un 4118
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2287  df-rex 2288  df-rab 2291  df-v 2535  df-sbc 2740  df-un 2897  df-in 2899  df-ss 2906  df-pw 3334  df-sn 3354  df-pr 3355  df-op 3357  df-ot 3358  df-uni 3553  df-br 3737  df-opab 3791  df-mpt 3792  df-id 4002  df-xp 4276  df-rel 4277  df-cnv 4278  df-co 4279  df-dm 4280  df-rn 4281  df-res 4282  df-ima 4283  df-iota 4792  df-fun 4829  df-fn 4830  df-fv 4835  df-tpos 5780
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator