ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtriexmidlem Structured version   GIF version

Theorem ordtriexmidlem 4208
Description: Lemma for decidability and ordinals. The set {x {∅} ∣ φ} is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4210 or weak linearity in ordsoexmid 4240) with a proposition φ. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordtriexmidlem {x {∅} ∣ φ} On

Proof of Theorem ordtriexmidlem
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . . 6 ((y z z {x {∅} ∣ φ}) → y z)
2 elrabi 2689 . . . . . . . . 9 (z {x {∅} ∣ φ} → z {∅})
3 elsn 3382 . . . . . . . . 9 (z {∅} ↔ z = ∅)
42, 3sylib 127 . . . . . . . 8 (z {x {∅} ∣ φ} → z = ∅)
5 noel 3222 . . . . . . . . 9 ¬ y
6 eleq2 2098 . . . . . . . . 9 (z = ∅ → (y zy ∅))
75, 6mtbiri 599 . . . . . . . 8 (z = ∅ → ¬ y z)
84, 7syl 14 . . . . . . 7 (z {x {∅} ∣ φ} → ¬ y z)
98adantl 262 . . . . . 6 ((y z z {x {∅} ∣ φ}) → ¬ y z)
101, 9pm2.21dd 550 . . . . 5 ((y z z {x {∅} ∣ φ}) → y {x {∅} ∣ φ})
1110gen2 1336 . . . 4 yz((y z z {x {∅} ∣ φ}) → y {x {∅} ∣ φ})
12 dftr2 3847 . . . 4 (Tr {x {∅} ∣ φ} ↔ yz((y z z {x {∅} ∣ φ}) → y {x {∅} ∣ φ}))
1311, 12mpbir 134 . . 3 Tr {x {∅} ∣ φ}
14 ssrab2 3019 . . 3 {x {∅} ∣ φ} ⊆ {∅}
15 ord0 4094 . . . . 5 Ord ∅
16 ordsucim 4192 . . . . 5 (Ord ∅ → Ord suc ∅)
1715, 16ax-mp 7 . . . 4 Ord suc ∅
18 suc0 4114 . . . . 5 suc ∅ = {∅}
19 ordeq 4075 . . . . 5 (suc ∅ = {∅} → (Ord suc ∅ ↔ Ord {∅}))
2018, 19ax-mp 7 . . . 4 (Ord suc ∅ ↔ Ord {∅})
2117, 20mpbi 133 . . 3 Ord {∅}
22 trssord 4083 . . 3 ((Tr {x {∅} ∣ φ} {x {∅} ∣ φ} ⊆ {∅} Ord {∅}) → Ord {x {∅} ∣ φ})
2313, 14, 21, 22mp3an 1231 . 2 Ord {x {∅} ∣ φ}
24 p0ex 3930 . . . 4 {∅} V
2524rabex 3892 . . 3 {x {∅} ∣ φ} V
2625elon 4077 . 2 ({x {∅} ∣ φ} On ↔ Ord {x {∅} ∣ φ})
2723, 26mpbir 134 1 {x {∅} ∣ φ} On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304  wss 2911  c0 3218  {csn 3367  Tr wtr 3845  Ord word 4065  Oncon0 4066  suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4210  ordtri2orexmid  4211  onsucsssucexmid  4212  ordsoexmid  4240  ordpwsucexmid  4246
  Copyright terms: Public domain W3C validator