Theorem ordsuc 4221

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) (Constructive proof by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 20-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4172	. 2 ⊢ (Ord A → Ord suc A)
2		en2lp 4212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (x ∈ A ∧ A ∈ x)
3		eleq1 2078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = A → (y ∈ x ↔ A ∈ x))
4	3	biimpac 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ x ∧ y = A) → A ∈ x)
5	4	anim2i 324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ A ∧ (y ∈ x ∧ y = A)) → (x ∈ A ∧ A ∈ x))
6	5	expr 357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ x) → (y = A → (x ∈ A ∧ A ∈ x)))
7	2, 6	mtoi 577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ x) → ¬ y = A)
8	7	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → ¬ y = A)
9		elelsuc 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ A → x ∈ suc A)
10	9	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ x) → x ∈ suc A)
11		ordelss 4061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord suc A ∧ x ∈ suc A) → x ⊆ suc A)
12	10, 11	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → x ⊆ suc A)
13	12	sseld 2917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → (y ∈ x → y ∈ suc A))
14	13	expr 357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord suc A ∧ x ∈ A) → (y ∈ x → (y ∈ x → y ∈ suc A)))
15	14	pm2.43d 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord suc A ∧ x ∈ A) → (y ∈ x → y ∈ suc A))
16	15	impr 361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → y ∈ suc A)
17		elsuci 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ suc A → (y ∈ A ∨ y = A))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → (y ∈ A ∨ y = A))
19	8, 18	ecased 1222	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → y ∈ A)
20	19	ancom2s 488	. . . . . 6 ⊢ ((Ord suc A ∧ (y ∈ x ∧ x ∈ A)) → y ∈ A)
21	20	ex 108	. . . . 5 ⊢ (Ord suc A → ((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
22	21	alrimivv 1733	. . . 4 ⊢ (Ord suc A → ∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
23		dftr2 3826	. . . 4 ⊢ (Tr A ↔ ∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
24	22, 23	sylibr 137	. . 3 ⊢ (Ord suc A → Tr A)
25		sssucid 4097	. . . 4 ⊢ A ⊆ suc A
26		trssord 4062	. . . 4 ⊢ ((Tr A ∧ A ⊆ suc A ∧ Ord suc A) → Ord A)
27	25, 26	mp3an2 1203	. . 3 ⊢ ((Tr A ∧ Ord suc A) → Ord A)
28	24, 27	mpancom 401	. 2 ⊢ (Ord suc A → Ord A)
29	1, 28	impbii 117	1 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 616  ∀wal 1224   = wceq 1226   ∈ wcel 1370   ⊆ wss 2890  Tr wtr 3824  Ord word 4044  suc csuc 4047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-setind 4200

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-sn 3352  df-pr 3353  df-uni 3551  df-tr 3825  df-iord 4048  df-suc 4053

This theorem is referenced by:  nlimsucg  4222  ordpwsucss  4223