Theorem ordsuc 4241

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) (Constructive proof by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 20-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4192	. 2 ⊢ (Ord A → Ord suc A)
2		en2lp 4232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (x ∈ A ∧ A ∈ x)
3		eleq1 2097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = A → (y ∈ x ↔ A ∈ x))
4	3	biimpac 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ x ∧ y = A) → A ∈ x)
5	4	anim2i 324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ A ∧ (y ∈ x ∧ y = A)) → (x ∈ A ∧ A ∈ x))
6	5	expr 357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ x) → (y = A → (x ∈ A ∧ A ∈ x)))
7	2, 6	mtoi 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ x) → ¬ y = A)
8	7	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → ¬ y = A)
9		elelsuc 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ A → x ∈ suc A)
10	9	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ x) → x ∈ suc A)
11		ordelss 4082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ord suc A ∧ x ∈ suc A) → x ⊆ suc A)
12	10, 11	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → x ⊆ suc A)
13	12	sseld 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → (y ∈ x → y ∈ suc A))
14	13	expr 357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord suc A ∧ x ∈ A) → (y ∈ x → (y ∈ x → y ∈ suc A)))
15	14	pm2.43d 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord suc A ∧ x ∈ A) → (y ∈ x → y ∈ suc A))
16	15	impr 361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → y ∈ suc A)
17		elsuci 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ suc A → (y ∈ A ∨ y = A))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → (y ∈ A ∨ y = A))
19	8, 18	ecased 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ x)) → y ∈ A)
20	19	ancom2s 500	. . . . . 6 ⊢ ((Ord suc A ∧ (y ∈ x ∧ x ∈ A)) → y ∈ A)
21	20	ex 108	. . . . 5 ⊢ (Ord suc A → ((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
22	21	alrimivv 1752	. . . 4 ⊢ (Ord suc A → ∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
23		dftr2 3847	. . . 4 ⊢ (Tr A ↔ ∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
24	22, 23	sylibr 137	. . 3 ⊢ (Ord suc A → Tr A)
25		sssucid 4118	. . . 4 ⊢ A ⊆ suc A
26		trssord 4083	. . . 4 ⊢ ((Tr A ∧ A ⊆ suc A ∧ Ord suc A) → Ord A)
27	25, 26	mp3an2 1219	. . 3 ⊢ ((Tr A ∧ Ord suc A) → Ord A)
28	24, 27	mpancom 399	. 2 ⊢ (Ord suc A → Ord A)
29	1, 28	impbii 117	1 ⊢ (Ord A ↔ Ord suc A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911  Tr wtr 3845  Ord word 4065  suc csuc 4068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-setind 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-suc 4074

This theorem is referenced by:  nlimsucg  4242  ordpwsucss  4243