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Theorem ordsuc 4221
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) (Constructive proof by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 20-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord A ↔ Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsucim 4172 . 2 (Ord A → Ord suc A)
2 en2lp 4212 . . . . . . . . . 10 ¬ (x A A x)
3 eleq1 2078 . . . . . . . . . . . . 13 (y = A → (y xA x))
43biimpac 282 . . . . . . . . . . . 12 ((y x y = A) → A x)
54anim2i 324 . . . . . . . . . . 11 ((x A (y x y = A)) → (x A A x))
65expr 357 . . . . . . . . . 10 ((x A y x) → (y = A → (x A A x)))
72, 6mtoi 577 . . . . . . . . 9 ((x A y x) → ¬ y = A)
87adantl 262 . . . . . . . 8 ((Ord suc A (x A y x)) → ¬ y = A)
9 elelsuc 4091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x Ax suc A)
109adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x A y x) → x suc A)
11 ordelss 4061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord suc A x suc A) → x ⊆ suc A)
1210, 11sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord suc A (x A y x)) → x ⊆ suc A)
1312sseld 2917 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord suc A (x A y x)) → (y xy suc A))
1413expr 357 . . . . . . . . . . 11 ((Ord suc A x A) → (y x → (y xy suc A)))
1514pm2.43d 44 . . . . . . . . . 10 ((Ord suc A x A) → (y xy suc A))
1615impr 361 . . . . . . . . 9 ((Ord suc A (x A y x)) → y suc A)
17 elsuci 4085 . . . . . . . . 9 (y suc A → (y A y = A))
1816, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((Ord suc A (x A y x)) → (y A y = A))
198, 18ecased 1222 . . . . . . 7 ((Ord suc A (x A y x)) → y A)
2019ancom2s 488 . . . . . 6 ((Ord suc A (y x x A)) → y A)
2120ex 108 . . . . 5 (Ord suc A → ((y x x A) → y A))
2221alrimivv 1733 . . . 4 (Ord suc Ayx((y x x A) → y A))
23 dftr2 3826 . . . 4 (Tr Ayx((y x x A) → y A))
2422, 23sylibr 137 . . 3 (Ord suc A → Tr A)
25 sssucid 4097 . . . 4 A ⊆ suc A
26 trssord 4062 . . . 4 ((Tr A A ⊆ suc A Ord suc A) → Ord A)
2725, 26mp3an2 1203 . . 3 ((Tr A Ord suc A) → Ord A)
2824, 27mpancom 401 . 2 (Ord suc A → Ord A)
291, 28impbii 117 1 (Ord A ↔ Ord suc A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616  wal 1224   = wceq 1226   wcel 1370  wss 2890  Tr wtr 3824  Ord word 4044  suc csuc 4047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-setind 4200
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-sn 3352  df-pr 3353  df-uni 3551  df-tr 3825  df-iord 4048  df-suc 4053
This theorem is referenced by:  nlimsucg  4222  ordpwsucss  4223
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