ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offval3 Structured version   GIF version

Theorem offval3 5672
Description: General value of (𝐹𝑓 𝑅𝐺) with no assumptions on functionality of 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offval3 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
Distinct variable groups:   x,𝐹   x,𝐺   x,𝑉   x,𝑊   x,𝑅

Proof of Theorem offval3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2534 . . 3 (𝐹 𝑉𝐹 V)
21adantr 261 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → 𝐹 V)
3 elex 2534 . . 3 (𝐺 𝑊𝐺 V)
43adantl 262 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → 𝐺 V)
5 dmexg 4511 . . . 4 (𝐹 𝑉 → dom 𝐹 V)
6 inex1g 3856 . . . 4 (dom 𝐹 V → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) V)
7 mptexg 5299 . . . 4 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) V → (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V)
85, 6, 73syl 17 . . 3 (𝐹 𝑉 → (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V)
98adantr 261 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V)
10 dmeq 4450 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → dom 𝑎 = dom 𝐹)
11 dmeq 4450 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → dom 𝑏 = dom 𝐺)
1210, 11ineqan12d 3108 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹 𝑏 = 𝐺) → (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
13 fveq1 5090 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎x) = (𝐹x))
14 fveq1 5090 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → (𝑏x) = (𝐺x))
1513, 14oveqan12d 5443 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹 𝑏 = 𝐺) → ((𝑎x)𝑅(𝑏x)) = ((𝐹x)𝑅(𝐺x)))
1612, 15mpteq12dv 3802 . . 3 ((𝑎 = 𝐹 𝑏 = 𝐺) → (x (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎x)𝑅(𝑏x))) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
17 df-of 5623 . . 3 𝑓 𝑅 = (𝑎 V, 𝑏 V ↦ (x (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎x)𝑅(𝑏x))))
1816, 17ovmpt2ga 5541 . 2 ((𝐹 V 𝐺 V (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
192, 4, 9, 18syl3anc 1116 1 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1223   wcel 1366  Vcvv 2526  cin 2884  cmpt 3781  dom cdm 4260  cfv 4817  (class class class)co 5424  𝑓 cof 5621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-id 3993  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-of 5623
This theorem is referenced by:  offres  5673
  Copyright terms: Public domain W3C validator