Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offval3 Structured version   GIF version

Theorem offval3 5703
 Description: General value of (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) with no assumptions on functionality of 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offval3 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
Distinct variable groups:   x,𝐹   x,𝐺   x,𝑉   x,𝑊   x,𝑅

Proof of Theorem offval3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . . 3 (𝐹 𝑉𝐹 V)
21adantr 261 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → 𝐹 V)
3 elex 2560 . . 3 (𝐺 𝑊𝐺 V)
43adantl 262 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → 𝐺 V)
5 dmexg 4539 . . . 4 (𝐹 𝑉 → dom 𝐹 V)
6 inex1g 3884 . . . 4 (dom 𝐹 V → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) V)
7 mptexg 5329 . . . 4 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) V → (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V)
85, 6, 73syl 17 . . 3 (𝐹 𝑉 → (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V)
98adantr 261 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V)
10 dmeq 4478 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → dom 𝑎 = dom 𝐹)
11 dmeq 4478 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → dom 𝑏 = dom 𝐺)
1210, 11ineqan12d 3134 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹 𝑏 = 𝐺) → (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
13 fveq1 5120 . . . . 5 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎x) = (𝐹x))
14 fveq1 5120 . . . . 5 (𝑏 = 𝐺 → (𝑏x) = (𝐺x))
1513, 14oveqan12d 5474 . . . 4 ((𝑎 = 𝐹 𝑏 = 𝐺) → ((𝑎x)𝑅(𝑏x)) = ((𝐹x)𝑅(𝐺x)))
1612, 15mpteq12dv 3830 . . 3 ((𝑎 = 𝐹 𝑏 = 𝐺) → (x (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎x)𝑅(𝑏x))) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
17 df-of 5654 . . 3 𝑓 𝑅 = (𝑎 V, 𝑏 V ↦ (x (dom 𝑎 ∩ dom 𝑏) ↦ ((𝑎x)𝑅(𝑏x))))
1816, 17ovmpt2ga 5572 . 2 ((𝐹 V 𝐺 V (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) V) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
192, 4, 9, 18syl3anc 1134 1 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∩ cin 2910   ↦ cmpt 3809  dom cdm 4288  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ∘𝑓 cof 5652 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654 This theorem is referenced by:  offres  5704
 Copyright terms: Public domain W3C validator