Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offres Structured version   GIF version

Theorem offres 5704
 Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))

Proof of Theorem offres
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3152 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
21sseli 2935 . . . . 5 (x ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → x 𝐷)
3 fvres 5141 . . . . . 6 (x 𝐷 → ((𝐹𝐷)‘x) = (𝐹x))
4 fvres 5141 . . . . . 6 (x 𝐷 → ((𝐺𝐷)‘x) = (𝐺x))
53, 4oveq12d 5473 . . . . 5 (x 𝐷 → (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x)) = ((𝐹x)𝑅(𝐺x)))
62, 5syl 14 . . . 4 (x ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x)) = ((𝐹x)𝑅(𝐺x)))
76mpteq2ia 3834 . . 3 (x ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x))) = (x ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x)))
8 inindi 3148 . . . . 5 (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9 incom 3123 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10 dmres 4575 . . . . . 6 dom (𝐹𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11 dmres 4575 . . . . . 6 dom (𝐺𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
1210, 11ineq12i 3130 . . . . 5 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
138, 9, 123eqtr4ri 2068 . . . 4 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14 eqid 2037 . . . 4 (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x)) = (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x))
1513, 14mpteq12i 3836 . . 3 (x (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x))) = (x ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x)))
16 resmpt3 4600 . . 3 ((x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) ↾ 𝐷) = (x ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x)))
177, 15, 163eqtr4ri 2068 . 2 ((x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) ↾ 𝐷) = (x (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x)))
18 offval3 5703 . . 3 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))))
1918reseq1d 4554 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((x (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹x)𝑅(𝐺x))) ↾ 𝐷))
20 resexg 4593 . . 3 (𝐹 𝑉 → (𝐹𝐷) V)
21 resexg 4593 . . 3 (𝐺 𝑊 → (𝐺𝐷) V)
22 offval3 5703 . . 3 (((𝐹𝐷) V (𝐺𝐷) V) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (x (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x))))
2320, 21, 22syl2an 273 . 2 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (x (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘x)𝑅((𝐺𝐷)‘x))))
2417, 19, 233eqtr4a 2095 1 ((𝐹 𝑉 𝐺 𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∩ cin 2910   ↦ cmpt 3809  dom cdm 4288   ↾ cres 4290  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ∘𝑓 cof 5652 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator