ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  off Structured version   GIF version

Theorem off 5666
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((φ (x 𝑆 y 𝑇)) → (x𝑅y) 𝑈)
off.2 (φ𝐹:A𝑆)
off.3 (φ𝐺:B𝑇)
off.4 (φA 𝑉)
off.5 (φB 𝑊)
off.6 (AB) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (φ → (𝐹𝑓 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   y,𝐺   x,y,φ   x,𝑆,y   x,𝑇,y   x,𝐹,y   x,𝑅,y   x,𝑈,y
Allowed substitution hints:   A(x,y)   B(x,y)   𝐶(x,y)   𝐺(x)   𝑉(x,y)   𝑊(x,y)

Proof of Theorem off
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . . 5 (φ𝐹:A𝑆)
2 off.6 . . . . . . 7 (AB) = 𝐶
3 inss1 3151 . . . . . . 7 (AB) ⊆ A
42, 3eqsstr3i 2970 . . . . . 6 𝐶A
54sseli 2935 . . . . 5 (z 𝐶z A)
6 ffvelrn 5243 . . . . 5 ((𝐹:A𝑆 z A) → (𝐹z) 𝑆)
71, 5, 6syl2an 273 . . . 4 ((φ z 𝐶) → (𝐹z) 𝑆)
8 off.3 . . . . 5 (φ𝐺:B𝑇)
9 inss2 3152 . . . . . . 7 (AB) ⊆ B
102, 9eqsstr3i 2970 . . . . . 6 𝐶B
1110sseli 2935 . . . . 5 (z 𝐶z B)
12 ffvelrn 5243 . . . . 5 ((𝐺:B𝑇 z B) → (𝐺z) 𝑇)
138, 11, 12syl2an 273 . . . 4 ((φ z 𝐶) → (𝐺z) 𝑇)
14 off.1 . . . . . 6 ((φ (x 𝑆 y 𝑇)) → (x𝑅y) 𝑈)
1514ralrimivva 2395 . . . . 5 (φx 𝑆 y 𝑇 (x𝑅y) 𝑈)
1615adantr 261 . . . 4 ((φ z 𝐶) → x 𝑆 y 𝑇 (x𝑅y) 𝑈)
17 oveq1 5462 . . . . . 6 (x = (𝐹z) → (x𝑅y) = ((𝐹z)𝑅y))
1817eleq1d 2103 . . . . 5 (x = (𝐹z) → ((x𝑅y) 𝑈 ↔ ((𝐹z)𝑅y) 𝑈))
19 oveq2 5463 . . . . . 6 (y = (𝐺z) → ((𝐹z)𝑅y) = ((𝐹z)𝑅(𝐺z)))
2019eleq1d 2103 . . . . 5 (y = (𝐺z) → (((𝐹z)𝑅y) 𝑈 ↔ ((𝐹z)𝑅(𝐺z)) 𝑈))
2118, 20rspc2va 2657 . . . 4 ((((𝐹z) 𝑆 (𝐺z) 𝑇) x 𝑆 y 𝑇 (x𝑅y) 𝑈) → ((𝐹z)𝑅(𝐺z)) 𝑈)
227, 13, 16, 21syl21anc 1133 . . 3 ((φ z 𝐶) → ((𝐹z)𝑅(𝐺z)) 𝑈)
23 eqid 2037 . . 3 (z 𝐶 ↦ ((𝐹z)𝑅(𝐺z))) = (z 𝐶 ↦ ((𝐹z)𝑅(𝐺z)))
2422, 23fmptd 5265 . 2 (φ → (z 𝐶 ↦ ((𝐹z)𝑅(𝐺z))):𝐶𝑈)
25 ffn 4989 . . . . 5 (𝐹:A𝑆𝐹 Fn A)
261, 25syl 14 . . . 4 (φ𝐹 Fn A)
27 ffn 4989 . . . . 5 (𝐺:B𝑇𝐺 Fn B)
288, 27syl 14 . . . 4 (φ𝐺 Fn B)
29 off.4 . . . 4 (φA 𝑉)
30 off.5 . . . 4 (φB 𝑊)
31 eqidd 2038 . . . 4 ((φ z A) → (𝐹z) = (𝐹z))
32 eqidd 2038 . . . 4 ((φ z B) → (𝐺z) = (𝐺z))
3326, 28, 29, 30, 2, 31, 32offval 5661 . . 3 (φ → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (z 𝐶 ↦ ((𝐹z)𝑅(𝐺z))))
3433feq1d 4977 . 2 (φ → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺):𝐶𝑈 ↔ (z 𝐶 ↦ ((𝐹z)𝑅(𝐺z))):𝐶𝑈))
3524, 34mpbird 156 1 (φ → (𝐹𝑓 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cin 2910  cmpt 3809   Fn wfn 4840  wf 4841  cfv 4845  (class class class)co 5455  𝑓 cof 5652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-of 5654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator